Гидрометеорологические исследования и прогнозы. 2026. № 2 (400). С. 106-118 106

DOI: https://doi.org/10.37162/2618-9631-2026-2-106-118

УДК 551.466.3

Ширина спектров поверхностных волн

в Черном море

А.С. Запевалов

Морской гидрофизический институт РАН, г. Севастополь, Россия

sevzepter@mail.ru

Анализируется изменчивость ширины частотного спектра возвышений морской

поверхности. Анализ проводится на основе данных прямых волновых измерений,

проведенных на стационарной океанографической платформе, установленной в Чер-

ном море. Ширина спектра v

определялась по отклонению частоты от ее среднего

значения и рассчитывалась как безразмерная комбинация первых трех спектральных

моментов. Показано, что нижний предел диапазона, в котором меняется ширина спек-

тра, равен 0.4, верхний предел равен 1.0. Медиана распределения v

, построенного по

данным измерений во всех ситуациях, равна 0.6. Ширина v

зависит от значительной

высоты волн, коэффициент корреляции между этими параметрами равен -0.56.

Ключевые слова: морская поверхность, волны, волновой спектр, ширина спектра,

Черное море

Spectral bandwidth of surface waves

in the Black Sea

A.S. Zapevalov

Marine Hydrophysical Institute Russian Academy of Sciences, Sevastopol, Russia

sevzepter@mail.ru

The variability of the bandwidth of the frequency spectrum of sea surface elevations is

analyzed. The analysis is based on direct wave measurements performed at a stationary

oceanographic platform in the Black Sea. The spectral bandwidth v

was determined by the

deviation of the frequency from its mean value and was calculated as a dimensionless com-

bination of the first three spectral moments. It is shown that the lower limit of the range

over which the spectral bandwidth varies is 0.4, and the upper limit is 1.0. The median of

the distribution v

constructed from measurement data in all situations is equal to 0.6. The

bandwidth v

depends on the significant wave height, the correlation coefficient between

these parameters is -0.56.

Keywords: sea surface, waves, wave spectrum, spectral bandwidth, Black Sea

Введение

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию измен-

чивости спектров поверхностных волн в Черном и Азовском морях [8, 10,

30]. Прогноз и реанализ поля поверхностных волн осуществляется с помо-

щью спектральных моделей, основанных на решении уравнения баланса

волновой энергии или волнового действия в спектральной форме [3, 11].

Запевалов А.С. 107

Корректное описание волновых спектров является необходимым условием

для получения достоверных прогнозов [7].

Одним из основных параметров, характеризующих поле морских по-

верхностных волн, является ширина волнового спектра

. Фазовая ско-

рость поверхностных волн зависит от их частоты, и параметр

определяет

роль дисперсии гравитационных волн в разных физических процессах [25].

Он влияет на вид совместного распределения высот и периодов волн [17,

27]. Баланс между нелинейностью и дисперсией определяет модуляцион-

ную неустойчивость волны Стокса (неустойчивость Бенджамина ‒ Фейра)

и формирование групповой структуры [18]. Согласно преобладающей в

настоящее время гипотезе, модуляционная неустойчивость определяет ве-

роятность появления аномально высоких волн [19, 26, 34, 36]. В инженер-

ных приложениях ширину волнового спектра необходимо учитывать при

расчете воздействия волн на суда и гидротехнические сооружения.

Дисперсионные свойства гравитационных волн оказывают существен-

ное влияние на ширину волнового спектра. После прекращения действия

ветра или когда его скорость становится ниже фазовой скорости доминант-

ных волн, ветровые волны трансформируются в зыбь. Зыбь распространя-

ется практически без взаимодействия между своими компонентами, и по-

скольку более длинные волны распространяются быстрее, чем более

короткие, то по мере удаления волн от области генерации частотный

спектр зыби становится более узкополосным, при этом частота спектраль-

ного пика смещается в область низких частот [23]. Расстояние, которое мо-

жет пройти зыбь, в частности, зависит от конфигурации и размеров бас-

сейна. В океане типичные значения ширины спектра зыби лежат в

диапазоне 0.05‒0.15, нижняя граница ширины спектра ветровых волн нахо-

дится вблизи уровня 0.35 [22]. Можно предположить, что во внутренних

морях, где условия образования и эволюции поля поверхностных волн от-

личны от условий в океане, диапазоны изменения ширины спектра будут

отличаться.

Предположение об узкополосности волнового спектра является рас-

пространенным допущением при построении моделей, описывающих раз-

ные свойства морских поверхностных волн [9, 21, 32], что указывает на

необходимость исследований фактической изменчивости ширины волно-

вого спектра в морских условиях. Целью настоящей работы является ана-

лиз на основе данных прямых волновых измерений изменчивости ширины

волнового спектра во внутреннем море.

Определение ширины спектра

Существует несколько определений ширины волнового спектра [12,

20, 29, 31]. В работе [12] ширина спектра определена как безразмерная ком-

бинация нулевого, второго и четвертого спектральных моментов:

−=

, (1)

108 Расчеты и прогнозы элементов режима морей и океанов

где

– спектральные моменты, которые заданы как

(

)

∫

∞

dff

Sfm

, (2)

где нижний индекс n указывает порядок спектрального момента;

– ча-

стота;

( )

– волновой спектр. Четвертый спектральный момент критиче-

ски зависит от поведения спектра на высоких частотах и от высокочастот-

ного среза. Для теоретических спектров с бесконечным четвертым

моментом

значения

получают при конечном диапазоне ча-

стот, в котором строится спектр

(

)

[29].

Определение ширины спектра как отклонения частоты от ее среднего

значения

в зависимости от самого среднего значения

было предло-

жено в работе [20]:

( )

µν

, (3)

где параметры

заданы выражениями

( ) ( )

dffSff

∫

∞

−=

, (4)

mmf

. (5)

Не сложно показать, что

mmm −=

. В окончательном виде вы-

ражение для ширины спектра в терминах спектральных моментов можно

представить в форме

−=

. (6)

Согласно [22], спектр считается узкополосным, если выполняется условие

Отметим, что в качестве характерного частотного масштаба вместо ча-

стоты

иногда используется частота пика волнового спектра

[31]. Как

, параметр

является случайной величиной. Исследование довери-

тельных оценок спектральных параметров показало, что при анализе дан-

ных волновых измерений использование

является предпочтительнее,

чем использование

[35].

Существует еще одно определение ширины волнового спектра [31]. В

соответствии с этим определением ширина рассчитывается непосред-

ственно по спектру:

Запевалов А.С. 109

( )

ff 2

5.0

∆=

, (7)

где

5.0

f∆

– ширина спектра

( )

на уровне 0.5 от его максимального зна-

чения.

В настоящей работе анализ изменчивости ширины волнового спектра

проводится на основе ее определения в форме (6).

Во

лновые измерения и обработка данных

Для анализа изменчивости волновых спектров использовались данные

измерений, полученные на стационарной океанографической платформе

Морского гидрофизического института РАН. Платформа установлена в

Черном море около южного берега Крыма, глубина в том месте, где уста-

новлена платформа, 28 м. В настоящей работе используются данные изме-

рений, проводившихся в разные годы: осенью 2001 г., летом и осенью 2005

и 2006 гг., зимой 2018 г., а также данные, полученные во время экстремаль-

ного шторма 25‒26 ноября 2023 года [1, 4‒6].

Волновые измерения осуществлялись с помощью струнных волногра-

фов. Использовались два типа датчиков: вертикально натянутая струна, пе-

ресекающая границу вода-воздух [5], и струна, навитая с постоянным ша-

гом на несущий кабель-трос [13]. В первом случае частота опроса

равнялась 20 Гц, во втором – 4 Гц.

Как правило, статистические волновые характеристики рассчитыва-

ются по волнограммам длительностью 20–30 минут. Можно считать, что

на этом временном интервале волнение является стационарным процессом

[14, 16, 17]. Полученные в измерениях на стационарной океанографиче-

ской платформе волнограммы разбивались на фрагменты длительностью

20 мин., для каждого из которых рассчитывались статистические и спек-

тральные характеристики.

Расчет волновых спектров осуществлялся с помощью классической

процедуры, в рамках которой спектр определен как преобразование Фурье

корреляционной функции [2]. Для сглаживания корреляционных функций

использовалось окно Тьюки, которое во временной области имеет вид

πτ

1+ cos при τ М

w(τ) =

0 при τ М





≤













, (8)

где τ – сдвиг; М ‒ длина корреляционной функции.

Чис

ленное моделирование

На модельных примерах рассмотрим, в каких пределах меняется ши-

рина волновых спектров. Для этого воспользуемся известными спектраль-

ными моделями. Спектр Пирсона ‒ Московитца [28], который описывает

полностью развитое поле ветровых волн, можно представить в виде:

110 Расчеты и прогнозы элементов режима морей и океанов

(

)

























−=

−

5.19

exp

fAfS

, (9)

где А – масштабирующий множитель;

– скорость ветра на высоте

19.5 м;

– гравитационное ускорение. Пересчитать скорость ветра на

стандартный горизонт 10 м можно с помощью соотношения

105.19

26.1 UU ≈

[33].

Спектр JONSWP описывает поле поверхностных волн, генерируемых

ветром при ограниченной длине разгона. Он построен на основе данных

прямых волновых измерений, полученных в Северном море в ходе реали-

зации международного проекта Joint North Sea Wave Project, и в настоящее

время широко используется в фундаментальных исследованиях и инженер-

ных приложениях. Спектр JONSWAP отличается от

( )

множителем,

меняющим его форму в окрестности спектрального пика [15]:

( )

Φ−

































−=

exp

fAfS

, (10)

где

– безразмерный параметр,

( )













−

−=Φ

exp

;

07.0=

при

≤

;

09.0=

при

. Значения

в основном лежат в пределах

1.5~6 при средней величине 3.3. При

стремящемся к единице спектр

( )

приближается к спектру

( )

Изменения формы спектра JONSWAP при разных значениях

пока-

заны на левом фрагменте рис. 1. Для сопоставления при построении графи-

ков каждый спектр нормировался на свое максимальное значение и стро-

ился в зависимости от безразмерной частоты

. После нормирования

на максимальное значение форма спектра Пирсона ‒ Московитца описыва-

ется универсальной функцией, которая не зависит от скорости ветра, соот-

ветственно, его ширина

также от скорости ветра не зависит. Измене-

ния ширины спектра JONSWAP

при изменении параметра

показаны

на правом фрагменте рис. 1, там же показана ширина спектра Пирсона ‒

Московитца

, которая является константой.

Анализ данных измерений

По данным измерений в Черном море нижняя граница диапазона из-

менения ширины волнового спектра

min

равняется 0.4, медиана распреде-

ления равна 0.6. Эти оценки получены в разных гидрометеорологических

Запевалов А.С. 111

условиях, без какой-либо фильтрации, и их можно считать средними по ан-

самблю ситуаций.

Рис. 1. Нормированные волновые спектры

( )

,fS

( )

, и их ширина

Fig. 1. Normalized wave spectra

( )

,fS

and

( )

, and their bandwidth

and

Эмпирическая функция плотности вероятностей

( )

, определенная

как гистограмма, нормированная на длину выборки и ширину интервала,

представлена на рис. 2а. Длина выборки составила 2081 точку, ширина ин-

тервала выбрана равной 0.25. При сравнении рис. 2а и рис. 1 видно, что

значение

min

ниже

Проанализируем, как меняются значения

в разных ситуациях. Пе-

риоды и высоты не являются статистически независимыми [24], поэтому

представляется целесообразным рассмотреть зависимость

( )

SLL

νν

, она

представлена на рис. 2б. С ростом

значения

в среднем убывают. Ко-

эффициент корреляции между параметрами

равен -0.56.

В период проведения измерений часто наблюдались ситуации, в кото-

рых на морской поверхности присутствовали две системы волн. В подоб-

ных ситуациях волновой спектр не обладает свойством автомодельности

[37] и отношение

должно измениться. С ростом

значение

также должно расти, что, как показано на рис. 2в, и происходит. Между

параметрами

существует статистическая связь, коэффициент

корреляции между ними равен 0.57.

В инженерных приложениях особенно актуальны волновые характе-

ристики, полученные в экстремальных условиях, когда волны оказывают

наибольшее воздействие на суда, прибрежные сооружения и пляжи.

112 Расчеты и прогнозы элементов режима морей и океанов

а)

б)

в)

Рис. 2. Изменения ширины волнового спектра: функция плотности веро-

ятностей

( )

(а); зависимость

от

(б); зависимость

от отно-

шения

(в).

Fig. 2. Changes in the width of the wave spectrum: probability density function

( )

(a); dependence

(б); dependence

on the ratio

(в).

Для анализа воспользуемся данными волновых измерений, получен-

ными на стационарной океанографической платформе во время черномор-

ского экстремального шторма 25‒26 ноября 2023 года [1].

Запевалов А.С. 113

Изменения

в период шторма показаны на рис. 3а. Значение

0=t

соответствует моменту времени 00 ч ВСВ 25 ноября 2023 г. На стадии раз-

вития шторма, когда происходит рост высоты волн, ширина спектра умень-

шается. Следует отметить, что уменьшение

прекращается раньше, чем

значительная высота достигает максимального значения. На стадии, когда

уменьшается,

растет. Когда значения

опустились ниже уровня

1.5 м, а значения

приблизились к единице, на морской поверхности

наблюдались две системы волн.

а)

б)

Рис. 3. Характеристики поверхностных волн во время шторма 25‒26 но-

ября 2023 г: изменение во времени ширины спектра

и значительной

высоты волн

(а); зависимость

от отношения

(б).

Fig. 3. Characteristics of surface waves during the storm on November 25‒26,

2023: time variation of the spectrum bandwidth

and significant wave height

(a); dependence

on the ratio

(б).

114 Расчеты и прогнозы элементов режима морей и океанов

В период шторма минимальное значение

min

оказалось равным 0.4,

медиана распределения была равна 0.6. Указанные значения

min

и меди-

аны распределения совпадают со значениями этих параметров, получен-

ными для всего ансамбля наблюдаемых ситуаций. Коэффициент корреля-

ции между

равен -0.58.

Зависимость

от

, приведенная на рис. 3б, показывает, что с

ростом

значения

в среднем растут. Коэффициент корреляции

между этими параметрами равен 0.58.

Заключение

Ширина спектра играет важную роль при описании поля поверхност-

ных волн и моделировании его характеристик, что определяет необходи-

мость получения детальной информации о характере и пределах ее факти-

ческих изменений в морских условиях. В настоящей работе ширина

спектра анализируется на основе данных волновых измерений, проведен-

ных в Черном море. Существует несколько определений ширины волно-

вого спектра. В настоящей работе для расчетов ширины спектра

ис-

пользовалось выражение (6), определяющее ее как безразмерную

комбинацию первых трех спектральных моментов.

По ансамблю ситуаций построено статистическое распределение ши-

рины спектра поверхностных волн в Черном море. Определен диапазон, в

котором меняется параметр

, нижняя и верхняя границы этого диапа-

зона, соответственно, равны 0.4 и 1.0. Медиана статистического распреде-

ления

равна 0.6. Показано, что с ростом значительной высоты волн

ширина волнового спектра уменьшается, коэффициент корреляции между

равен -0.58. Полученные результаты могут быть использованы в

задачах моделирования, прогноза и классификации морских волн.

Работа выполнена в Морском гидрофизическом институте РАН в рам-

ках государственного задания по теме FNNN-2024-0012 «Анализ, диагноз

и оперативный прогноз состояния гидрофизических и гидрохимических

полей морских акваторий на основе математического моделирования с ис-

пользованием данных дистанционных и контактных методов измерений».

The work was carried out at the Marine Hydrophysical Institute of the Rus-

sian Academy of Sciences within the framework of a state assignment on the

topic: FNNN-2024-0012 “Analysis, diagnosis and real-time forecast of the state

of hydrophysical and hydrochemical fields of marine water areas based on math-

ematical modelling using data from remote and in situ methods of measure-

ments”.

Запевалов А.С. 115

Список литературы

1. Гармашов А.В., Запевалов А.С. Групповая структура волн во время черноморского

шторма 25‒26 ноября 2023 г. // Гидрометеорологические исследования и прогнозы. 2025.

№ 3 (397). С. 121-131. https://doi.org/10.37162/2618-9631-2025-3-121-131

2. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. Т. 1. М.: Мир, 1971.

316 с. Jenkins G.M, Watts D.G. Spectral analysis and its applications. Vol. 1. San Francisco,

Holden-Day, 1966. 554 p.

3. Дивинский Б. В., Косьян Р. Д. Климатические тенденции в волновом энергетическом

потенциале Черного и Азовского морей по результатам численного моделирования // Эко-

логическая безопасность прибрежной и шельфовой зон моря. 2016. Вып. 1. С. 15–22.

4. Запевалов А.С., Гармашов А.В. Соотношение глубины впадины и высоты гребня по-

верхностных волн в прибрежной зоне Черного моря // Морской гидрофизический журнал.

2024. Т. 40, № 1. С. 78–86.

5. Запевалов А.С., Большаков А.Н., Смолов В.Е. Исследование уклонов морской по-

верхности с помощью массива волнографических датчиков // Океанология. 2009. Т. 49, № 1.

С. 37-44.

6. Запевалов А.С., Большаков А.Н., Смолов В.Е. Исследования уровня когерентности

морских поверхностных волн // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и

океана. 2004. Т. 40, № 4. С. 545-549.

7. Михайличенко С.Ю., Гармашов А.В., Фомин В.В. Верификация модели ветрового

волнения SWAN по наблюдениям на стационарной океанографической платформе Черно-

морского гидрофизического полигона РАН // Экологическая безопасность прибрежной и

шельфовой зон моря. 2016. Вып. 2. С. 52-57.

8. Рыбалко А.Д., Мысленков С.А., Архипкин В.С. Использование классификации для

анализа сезонной изменчивости спектров ветрового волнения в Черном и Азовском морях

// Гидрометеорологические исследования и прогнозы. 2024. № 1 (391). С. 24-40. DOI:

10.37162/2618-9631-2024-1-24-40

9. Слюняев А.В. Анализ нелинейного спектра интенсивного морского волнения с це-

лью прогноза экстремальных волн // Известия высших учебных заведений. Радиофизика.

2018. Т. 61, № 1. С. 1–23.

10. Amarouche K., Akpınar A. Long-term characterization of directional wave spectra in the

Black Sea and the Sea of Azov // Applied Ocean Research. 2023. Vol. 141. Р. 103783.

https://doi.org/10.1016/j.apor.2023.103783

11. Ardhuin F., Magne R., Filipot J-F., Van der Westhyusen A., Roland A., Quefeulou P.,

Lefevre J.M., Aouf L., Babanin A., Collard F. Semiempirical dissipation source functions for wind-

wave models: Part I, definition, calibration and validation at global scales // J. Phys. Oceanogr.

2010. Vol. 40. P. 1917-1941. DOI: 10.1175/2010jpo4324.1

12. Cartwright D.E., Longuet-Higgins M.S. The statistical distribution of the maxima of

a random function // Proc. R. Soc. London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 1956.

Vol. 237, is. 1209. P. 212-232. DOI: 10.1098/rspa.1956.0173

13. Garmashov A., Toloknov Y., Korovushkin A. Hydrometeorological monitoring on the

stationary oceanographic platform in the Black Sea // International Multidisciplinary Scientific

GeoConference Surveying Geology and Mining Ecology Management, SGEM. 2019. Vol. 19,

no. 3.1. P. 259-264. DOI: 10.5593/sgem2019/3.1/S12.034

14. Goda Y. Random seas and design of maritime structures // Advfnced Series on Ocean

Engineering. Vol. 15. World Scientific Publishing, 2010. 732 p.

15. Hasselmann K., Barnett T.P., Bouws E., Carlson H., Cartwright D.E., Enke K., Ewing

J.A., Gienapp H., Hasselmann D.E., Kruseman P., Meerburg A., Mller P., Olbers D.J, Richter K.,

Sell W., Walden H. Measurements of wind-wave growth and swell decay during the Joint North

Sea Wave Project (JONSWAP) // Ergnzungsheft zur Deutschen Hydrographischen Zeitschrift

Reihe, 1973. A(8) (Nr. 12). P. 1-95.

16. Holthuijsen L.H. Waves in oceanic and coastal waters. Cambridge University Press,

2007. 387 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511618536

17. James J.P., Panchang V. Assessment of joint distributions of wave heights and periods

// Ocean Engineering. 2024. Vol. 313. P. 119501. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2024.119501

116 Расчеты и прогнозы элементов режима морей и океанов

18. Janssen P.A.E.M. Nonlinear four-wave interactions and freak waves // J. Phys. Oceanogr.

2003. Vol. 33 (4). P. 863-884.

19. Li J., Yang J., Liu S., Ji X. Wave groupiness analysis of the process of 2D freak wave

generation in random wave trains // Ocean Eng. 2015. Vol. 104. P. 480-488.

20. Longuet-Higgins M.S. On the joint distribution of the periods and amplitudes of sea

waves // J. Geophys. Res. 1975. Vol. 80, no. C18. P. 2688-2694.

21. Longuet-Higgins M.S. The statistical analysis of a random, moving surface // Philosoph-

ical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 1957.

Vol. 249 (966). P. 321-387.

22. Longuet-Higgins M.S. Statistical properties of wave groups in a random sea state //

Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A. 1984. Vol. 312 (1521). P. 219-250. DOI:

10.1098/rsta.1984.0061

23. Lucas C., Guedes Soares G. On the modelling of swell spectra // Ocean Engineering.

2015. Vol. 108. P. 749-759. DOI:10.1016/j.oceaneng.2015.08.017

24. Memos C.D., Joint R.T. Distribution of wave heights and periods in waters of any depth

// Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering. 2000. Vol. 126, no. 3. P. 162-172.

DOI: 10.1061/(ASCE)0733-950X(2000)126:3(162)

25. Mori N., Janssen P.A.E.M. On kurtosis and occurrence probability of freak waves // J.

Physical Oceanography. 2006. Vol. 36, no. 7. P. 1471-1483.

26. Mori N., Onorato M., Janssen P.A.E.M., Osborne A. R., Serio M. On the extreme statis-

tics of long-crested deep water waves: Theory and experiments // J. Geophys. Res. 2007. Vol. 112

(C9). DOI: 10.1029/2006jc004024

27. Myrhaug D., Wang H., Holmedal L.E., Li H. Revisiting statistical properties of surf pa-

rameter with characteristic wave parameters for single random waves including spectral bandwidth

effects // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part M: J. of Engineering for the

Maritime Environment. 2021. Vol. 236, no. 1.147509022110353. DOI:

10.1177/14750902211035364

28. Pierson W.I., Moskovitz L. A prosed spectral form for fully developed wind seas based

on the similarity method of S.A. Kitaigorodskii // J. Geophys. Res. 1964. Vol. 69, no. 24. Р. 5181-

5190.

29. Rodriguez G.R., Royo F.R. Pacheco M., Martinez A. On the joint of wave heights and

periods: The role of the spectral bandwidth // J. Offshore Mech. Arct. Eng. 1999. Vol. 121. P. 187-

193.

30. Rybalko A., Myslenkov S.A., Badulin S.I. Wave Buoy Measurements at Short Fetches in

the Black Sea Nearshore: Mixed Sea and Energy Fluxes // Water. 2023. Vol. 15, no. 10. P. 1834.

https://doi.org/10.3390/w15101834

31. Serio M., Onorato M., Osborne A.R., Janssen P.A.E.M. On the computation of the Ben-

jamin-Feir Index // Nuovo Cimento. 2005. Vol. 28. P. 893-903.

32. Stansell P. Distributions of freak wave heights measured in the North Sea // Applied

Ocean Research. 2004. Vol. 26. P. 35-48.

33. Stewart P.H. Introduction to physical oceanography. Department of Oceanography,

Texas A&M University, 2008. 353 p.

34. Wang L., Zhou B., Jin P., Li J., Liu S., Ducrozet G. Relation between occurrence proba-

bility of freak waves and kurtosis/skewness in unidirectional wave trains under single-peak spectra

// Ocean Engineering. 2022. Vol. 248. P. 110813. DOI: 10.1016/j.oceaneng.2022.110813

35. Young I.R. The determination of confidence limits associated with estimates of the spec-

tral peak frequency the determination of confidence limits associated with estimates of the spectral

peak frequency // Ocean Engineering. 1995. Vol. 22, no. 7. P. 669-686.

36. Zakharov V.E., Dyachenko A.I., Prokofiev A.O. Freak waves as nonlinear stage of Stokes

wave modulation instability // European Journal of Mechanics - B/Fluids. 2006. Vol. 25, no. 5.

P. 677-692. DOI:10.1016/j.euromechflu.2006.03.004

37. Zakharov V.E., Badulin S.I., Geogjaev V.V., Pushkarev A.N. Weak-turbulent theory of

wind-driven sea. // Earth and Space Science. 2019. Vol. 6, is. 4. P. 1-17

https://doi.org/10.1029/2018EA000471

Запевалов А.С. 117

References

1. Garmashov A.V., Zapevalov A.S. Group structure of waves during the Black Sea storm on

November 25-26, 2023. Gidrometeorologicheskie issledovaniya i prognozy [Hydrometeorological

Research and Forecasting], 2025, vol. 397, no. 3, pp. 121-131. https://doi.org/10.37162/2618-

9631-2025-3-121-131 [in Russ.].

2. Jenkins G.M, Watts D.G. Spectral analysis and its applications. Vol. 1. San Francisco,

Holden-Day, 1966. 554 p.

3. Divinsky B.V., Kos'yan R.D. The Black Sea and Sea of Azov wave regime: results of nu-

merical simulation. Ekologicheskaya bezopasnost' pribrezhnoj i shel'fovoj zon morya [Ecological

Safety of Coastal and Shelf Zones of Sea], 2016, vol. 1, pp. 15-22 [in Russ.].

4. Zapevalov A.S., Garmashov A.V. Ratio between trough and crest of surface waves in the

coastal zone of the Black Sea. Physical Oceanography, 2024, Vol. 31, no. 1, pp. 71-78.

5. Zapevalov A.S., Bol'shakov A.N., Smolov V.E. Studying the sea surface slopes using an

array of wave gauge sensors. Oceanology, 2009, vol. 49, no 1, pp. 31-38. DOI:

10.1134/S0001437009010044

6. Zapevalov A.S., Bol’shakov A.N., Smolov V.E Studies of the coherence level of sea surface

waves. Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics, 2004, vol. 40, no. 4, pp. 483-487.

7. Mikhailichenko S.Yu., Garmashov A.V., Fomin V.V. Verification of the SWAN Wind

Waves Model by Observations on the Stationary Oceanographic Platform of the Black Sea Hydro-

physical Polygon of RAS. Ekologicheskaya bezopasnost' pribrezhnoj i shel'fovoj zon morya [Eco-

logical Safety of Coastal and Shelf Zones of Sea], 2016, vol. 2, pp. 52-57 [in Russ.].

8. Rybalko A.D., Myslenkov S.A., Arkhipkin V.S. Using classification to analyze seasonal

variability of wind wave spectra in the Black and Azov Seas. Gidrometeorologicheskie issledo-

vaniya i prognozy [Hydrometeorological Research and Forecasting], 2024, vol. 391, no. 1, pp. 24-

40. https://doi.org/10.37162/2618-9631-2024-1-24-40 [in Russ.].

9. Slunyaev A.V. Analysis of the nonlinear spectrum of intense sea wave with the purpose of

extreme wave prediction. Radiophys. Quantum Electronics, 2018, vol. 61, pp. 1-21.

https://doi.org/10.1007/s11141-018-9865-8

10. Amarouche K., Akpınar A. Long-term characterization of directional wave spectra in the

Black Sea and the Sea of Azov. Applied Ocean Research, 2023, vol. 141, pp. 103783.

https://doi.org/10.1016/j.apor.2023.103783

11. Ardhuin F., Magne R., Filipot J-F., Van der Westhyusen A., Roland A., Quefeulou P.,

Lefevre J.M., Aouf L., Babanin A., Collard F. Semiempirical dissipation source functions for wind-

wave models: Part I, definition, calibration and validation at global scales. J. Phys. Oceanogr.,

2010, vol. 40, pp. 1917-1941. DOI: 10.1175/2010jpo4324.1

12. Cartwright D.E., Longuet-Higgins M.S. The statistical distribution of the maxima of a

random function. Proc. R. Soc. London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 1956,

vol. 237, is. 1209, pp. 212-232. DOI: 10.1098/rspa.1956.0173

13. Garmashov A., Toloknov Y., Korovushkin A. Hydrometeorological monitoring on the

stationary oceanographic platform in the Black Sea. International Multidisciplinary Scientific Ge-

oConference Surveying Geology and Mining Ecology Management, SGEM, 2019, vol. 19, no. 3.1,

pp. 259-264. DOI: 10.5593/sgem2019/3.1/S12.034

14. Goda Y. Random seas and design of maritime structures. Advfnced Series on Ocean En-

gineering. Vol. 15. World Scientific Publishing, 2010. 732 p.

15. Hasselmann K., Barnett T.P., Bouws E., Carlson H., Cartwright D.E., Enke K., Ewing

J.A., Gienapp H., Hasselmann D.E., Kruseman P., Meerburg A., Mller P., Olbers D.J, Richter K.,

Sell W., Walden H. Measurements of wind-wave growth and swell decay during the Joint North

Sea Wave Project (JONSWAP). Ergnzungsheft zur Deutschen Hydrographischen Zeitschrift

Reihe, 1973, A (8) (Nr. 12), pp. 1-95.

16. Holthuijsen L.H. Waves in oceanic and coastal waters. Cambridge University Press,

2007, 387 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511618536

17. James J.P., Panchang V. Assessment of joint distributions of wave heights and periods.

Ocean Engineering, 2024, vol. 313, pp. 119501. https://doi.org/10.1016/j.oceaneng.2024.119501

18. Janssen P.A.E.M. Nonlinear four-wave interactions and freak waves. J. Phys. Oceanogr,

2003, vol. 33 (4), pp. 863-884.

118 Расчеты и прогнозы элементов режима морей и океанов

19. Li J., Yang J., Liu S., Ji X. Wave groupiness analysis of the process of 2D freak wave

generation in random wave trains. Ocean Eng., 2015, vol. 104, pp. 480-488.

20. Longuet-Higgins M.S. On the joint distribution of the periods and amplitudes of sea

waves. J. Geophys. Res., 1975, vol. 80, no. C18, pp. 2688-2694.

21. Longuet-Higgins M.S. The statistical analysis of a random, moving surface. Philosophi-

cal Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1957,

vol. 249 (966), pp. 321-387.

22. Longuet-Higgins M.S. Statistical properties of wave groups in a random sea state. Philos.

Trans. R. Soc. Lond. Ser. A., 1984, vol. 312 (1521), pp. 219-250. DOI: 10.1098/rsta.1984.0061

23. Lucas C., Guedes Soares G. On the modelling of swell spectra. Ocean Engineering,

2015, vol. 108, pp. 749-759. DOI:10.1016/j.oceaneng.2015.08.017

24. Memos C.D., Joint R.T. Distribution of wave heights and periods in waters of any depth.

Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering, 2000, vol. 126, no. 3, pp. 162-172.

DOI: 10.1061/(ASCE)0733-950X(2000)126:3(162)

25. Mori N., Janssen P.A.E.M. On kurtosis and occurrence probability of freak waves.

J. Physical Oceanography, 2006, vol. 36, no. 7, pp. 1471-1483.

26. Mori N., Onorato M., Janssen P.A.E.M., Osborne A. R., Serio M. On the extreme statis-

tics of long-crested deep water waves: Theory and experiments. J. Geophys. Res., 2007, vol. 112

(C9). DOI: 10.1029/2006jc004024

27. Myrhaug D., Wang H., Holmedal L.E., Li H. Revisiting statistical properties of surf pa-

rameter with characteristic wave parameters for single random waves including spectral bandwidth

effects. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part M: J. of Engineering for the

Maritime Environment., 2021, vol. 236, no. 1.147509022110353. DOI:

10.1177/14750902211035364

28. Pierson W.I., Moskovitz L. A prosed spectral form for fully developed wind seas based

on the similarity method of S.A. Kitaigorodskii. J. Geophys. Res., 1964, vol. 69, no. 24, pp. 5181-

5190.

29. Rodriguez G.R., Royo F.R. Pacheco M., Martinez A. On the joint of wave heights and

periods: The role of the spectral bandwidth. J. Offshore Mech. Arct. Eng., 1999, vol. 121, pp. 187-

193.

30. Rybalko A., Myslenkov S.A., Badulin S.I. Wave Buoy Measurements at Short Fetches in

the Black Sea Nearshore: Mixed Sea and Energy Fluxes. Water, 2023, vol. 15, no. 10, pp. 1834.

https://doi.org/10.3390/w15101834

31. Serio M., Onorato M., Osborne A.R., Janssen P.A.E.M. On the computation of the Ben-

jamin-Feir Index. Nuovo Cimento, 2005, vol. 28, pp. 893-903.

32. Stansell P. Distributions of freak wave heights measured in the North Sea. Applied Ocean

Research, 2004, vol. 26, pp. 35-48.

33. Stewart P.H. Introduction to physical oceanography. Department of Oceanography,

Texas A&M University, 2008. 353 p.

34. Wang L., Zhou B., Jin P., Li J., Liu S., Ducrozet G. Relation between occurrence proba-

bility of freak waves and kurtosis/skewness in unidirectional wave trains under single-peak spec-

tra. Ocean Engineering, 2022, vol. 248, pp. 110813. DOI: 10.1016/j.oceaneng.2022.110813

35. Young I.R. The determination of confidence limits associated with estimates of the spec-

tral peak frequency the determination of confidence limits associated with estimates of the spectral

peak frequency. Ocean Engineering, 1995, vol. 22, no. 7, P. 669-686.

36. Zakharov V.E., Dyachenko A.I., Prokofiev A.O. Freak waves as nonlinear stage of Stokes

wave modulation instability. European Journal of Mechanics - B/Fluids, 2006, vol. 25, no. 5, pp.

677-692. DOI:10.1016/j.euromechflu.2006.03.004

37. Zakharov V.E., Badulin S.I., Geogjaev V.V., Pushkarev A.N. Weak-turbulent theory of

wind-driven sea. Earth and Space Science, 2019, vol. 6, is. 4, pp. 1-17

https://doi.org/10.1029/2018EA000471

Поступила 15.03.2026; принята в печать 26.05.2026.

Submitted 15.03.2026; accepted for publication 26.05.2026.