Гидрометеорологические исследования и прогнозы. 2025. № 2 (396). С. 141-158

141

DOI: https://doi.org/10.37162/2618-9631-2025-2-141-158

УДК 556.6

Вероятностная форма

выпуска прогнозов речного стока

Ю.А. Симонов^1,2, А.В. Христофоров¹

¹Гидрометеорологический научно-исследовательский центр

Российской Федерации, г. Москва, Россия;

²Институт вычислительной математики имени Г.И. Марчука РАН, г. Москва, Россия

simonov@mecom.ru, khristoforov_a@mail.ru

Предлагаются рекомендации по выпуску прогноза речного стока в вероятностной

форме, которая в дополнение к обычному прогнозу в детерминированной форме дает

представление о диапазоне возможных значений прогнозируемой величины. Вероят-

ностную форму долгосрочных и некоторых среднесрочных прогнозов речного стока

предлагается получать исходя из того, что ошибки прогноза подчиняются нормаль-

ному распределению вероятностей с постоянной дисперсией. Вероятностную форму

выпуска краткосрочных и некоторых среднесрочных прогнозов предлагается полу-

чать исходя из того, что прогноз логарифмов характеристики речного стока дает

ошибки, которые подчиняются нормальному распределению вероятностей с посто-

янной дисперсией. Приведены статистические критерии, предназначенные для про-

верки применимости каждого из методов. Даны примеры выпуска прогнозов речного

стока в вероятностной форме, полученной с использованием каждого из предлагае-

мых методов. Предлагаемые рекомендации предназначены для повышения научной

обоснованности результатов оперативного гидрологического прогнозирования.

Ключевые слова: речной сток, детерминированная и вероятностная форма, прове-

рочные прогнозы, статистический анализ

A probabilistic form of streamflow forecasts

Yu.A. Simonov^1,2, A.V. Khristoforov¹

¹Hydrometeorological Research Center of Russian Federation, Moscow, Russia;

²Marchuk Institute of Numerical Mathematics RAS, Moscow, Russia

simonov@mecom.ru, khristoforov_a@mail.ru

Recommendations are proposed for issuing streamflow forecasts in a probabilistic

form, which, in addition to the forecast in a deterministic form, gives an idea of the range

of possible forecasted values. It is proposed to obtain the probabilistic form of long-term

and some medium-term streamflow forecasts based on the fact that forecast errors follow

the normal probability distribution with constant variance. It is proposed to obtain the prob-

abilistic form of issuing short-term and some medium-term forecasts based on the fact that

the errors in the logarithms of streamflow forecasting follow the normal probability distri-

bution with constant variance. Statistical criteria are given to test applicability of each of

the methods. Examples of streamflow forecasts in the probabilistic form obtained using

each of the proposed methods are given.The proposed recommendations are intended to

improve the scientific validity of the results of operational hydrological forecasting.

Keywords: streamflow, deterministic and probabilistic forecasts, verification forecasts,

statistical analysis

142

Гидрологические прогнозы

Введение

Ограниченность возможностей предсказания характеристик речного

стока обусловлена рядом причин, в том числе:

. сложностью и многофакторностью процессов формирования вод-

ного режима рек и притока воды в водохранилища, которые ограничивают

адекватность и полноту описания прогнозируемого явления;

. неопределенностью хода метеорологических элементов в течение

периода заблаговременности гидрологического прогноза и ограниченно-

стью возможностей его предсказания;

. ограниченной репрезентативностью, объемом и точностью исход-

ных данных гидрометеорологических наблюдений, которые приводят к

статистической погрешности параметров схемы получения прогноза [3, 7,

17, 21].

Таким образом, любой прогноз характеристики речного стока содер-

жит случайные ошибки, вероятная величина которых может быть весьма

значительна и должна учитываться потребителями прогностической про-

дукции при принятии решений по использованию водных ресурсов и за-

щите населения и хозяйственных объектов от опасных и неблагоприятных

гидрологических явлений [2, 18, 20].

Подготовленная к использованию методика определяется прогнозиру-

емой характеристикой, заблаговременностью прогноза и алгоритмом его

составления, а также характеризуется среднеквадратической погрешно-

стью прогноза, показателем его эффективности и оправдываемости, кото-

рые получены на основе анализа результатов ее проверки [12].

Выпускаемый в детерминированной форме прогноз характеристики

речного стока выражает ее ожидаемое значение в виде конкретного числа.

Учитывая точность используемой методики прогноза, потребитель может

ориентироваться на более низкое значение прогнозируемого уровня, рас-

хода воды, объема стока или притока в меженный период или на более вы-

сокое значение этих характеристик в период половодья и в период прохож-

дения паводков. Кроме того, для пользователя прогнозов представляет

интерес доверительный интервал, в пределах которого прогнозируемая ха-

рактеристика может оказаться с той или иной вероятностью [3, 20].

Представляется недопустимым основанное только на интуиции зани-

жение или завышение прогнозов и назначение доверительных интервалов

исходя из негативных последствий вероятной ошибки получаемых прогно-

зов. Во избежание подобных ситуаций выпуск прогноза в детерминирован-

ной форме следует дополнять выпуском прогноза в вероятностной форме,

которая характеризует распределение вероятностей ожидаемых значений

прогнозируемой величины.

Выпуск гидрологических прогнозов в вероятностной форме преду-

сматривается действующим с 1962 года Наставлением [12]. Содержащиеся

в Наставлении указания представляются вполне разумными, однако

Симонов Ю.А., Христофоров А.В.

143

в настоящее время они не соответствуют научному уровню современного

гидрологического прогнозирования. В связи с этим в настоящей статье

предлагаются усовершенствованные рекомендации по выпуску прогнозов

речного стока в вероятностной форме.

Постановка задачи

В ходе авторской проверки разработанной методики гидрологиче-

ского прогнозирования и в ходе ее оперативных испытаний необходимо

оценить не только погрешность прогноза в целом, но и вероятные вели-

чины его отклонения от фактических значений прогнозируемой гидроло-

гической характеристики. Эта задача решается путем дополнения прогноза

в детерминированной форме, когда ожидаемое значение характеристики

~

речного стока задается в виде числа , вероятностной формой выпуска

Y

прогноза. Эта форма характеризует возможную изменчивость ожидаемого

значения характеристики речного стока в зависимости от располагаемой

Y

к дате составления прогноза гидрометеорологической информации. В не-

которых случаях эта информация может включать и предсказание хода ме-

теорологических элементов в течение периода заблаговременности гидро-

логического прогноза.

Вероятностная форма выпуска прогноза определяется условной функ-

~

цией распределения вероятностей

, которая в зависимости от распо-

F(y)

лагаемой к дате составления прогноза гидрометеорологической информа-

ции задает вероятность того, что прогнозируемая величина окажется

меньше числа y. В ряде случаев более удобным является использование

условной функции обеспеченности, которая в зависимости от располагае-

мой к дате составления прогноза гидрометеорологической информации за-

~

дает число

, которое прогнозируемая величина может превысить с ве-

Y ( p)

роятностью p [3].

Представленные в аналитической, табличной или графической форме

~

функции

или

дают исчерпывающую информацию для получе-

Y ( p)

F(y)

ния вероятностной формы выпуска прогноза.

Как правило, прогноз гидрологической характеристики

в вероят-

Y

ностной форме выражается двумя способами, представленными ниже

[3, 11, 13, 16].

Форма 1 определяет:

~

1.1. условную вероятность

=

–

попадания ожидаемого зна-

F(a)

P

F(b)

чения характеристики в заданный интервал

;

Y

(a;b)

~

1.2. условную вероятность

того, что прогнозируемая величина

F(a)

окажется меньше критически малого значения a;

144

Гидрологические прогнозы

~

1.3. условную вероятность 1‒

того, что прогнозируемая величина

F(b)

окажется больше критически большого значения b.

Форма 2 определяет:

~

2.1. условный доверительный интервал с концами

=

a_PY (50%+ P / 2)

~

и

=

, в который ожидаемое значение характеристики

b_P

Y

Y (50%− P / 2)

может попасть с заданной вероятностью = 60% – 90%, причем попасть

P

влево или вправо от этого интервала величина может с одинаковой вероят-

ностью

;

50%− P / 2

~

2.2. критически малое значение

, меньше которого прогнози-

Y (1− p)

руемая величина окажется с вероятностью p = 5% – 50%;

~

2.3. критически большое значение

, больше которого прогнози-

Y (p)

руемая величина окажется с вероятностью p = 5% – 50% [3].

Примеры рассмотренных вероятностных форм выпуска прогнозов

речного стока приведены в следующих разделах.

Среднеквадратическая погрешность прогноза величины Y в детерми-

нированной форме достигает своего минимума, если в качестве такого про-

~

гноза используется ее условное математическое ожидание

, соответ-

M (Y)

ствующее располагаемой гидрометеорологической информации. Причем

по мере увеличения точности и полноты такой информации погрешность

такого прогноза будет снижаться [3, 6].

Таким образом, методика прогнозирования величины Y в детермини-

рованной форме может рассматриваться как алгоритм получения оценки

~

условного математического ожидания

при различных возможных

Y

M (Y)

вариантах располагаемой гидрометеорологической информации. Возмож-

ная систематическая ошибка прогноза должна быть устранена, после чего

~

прогноз

будет несмещенной оценкой условного математического ожи-

Y

~

дания

[7].

M (Y)

Условное распределение вероятностей ожидаемых значений прогно-

зируемой величины

Y

описывает ее возможные отклонения от математи-

~

ческого ожидания

. Следовательно, получение вероятностной формы

M (Y)

выпуска прогноза должно быть основано на анализе данных об ошибках

~

прогноза

‒

[3]. Именно такой подход предусмотрен Наставлением

Y

[12].

В последние годы все большее распространение получает иной подход

к получению вероятностных форм выпуска прогнозов речного стока, осно-

ванный на применении ансамблевого подхода [9‒11, 14, 15, 19, 21, 22].

Представляется целесообразным рассмотреть его прежде, чем перейти

Симонов Ю.А., Христофоров А.В.

145

к рекомендуемым методам получения вероятностных форм выпуска про-

гнозов на основе статистического анализа данных об их ошибках.

Ансамблевый подход к выпуску прогноза

в вероятностной форме

В случае, когда методика долгосрочного или среднесрочного прогно-

зирования характеристики речного стока

использует физико-математи-

Y

ческую или концептуальную модель его формирования, а прогноз хода ме-

теорологических характеристик в течение периода заблаговременности не

используется в виду его недостаточной надежности, для получения веро-

ятностной формы выпуска прогноза в ряде случаев применяется ансамбле-

вый подход [3, 10, 14, 17, 19].

Модель усваивает образующие вектор X известные к дате составления

прогноза гидрометеорологические характеристики и образующие вектор Z

метеорологические характеристики, которые описывают сценарий погод-

ных условий в течение периода заблаговременности прогноза, например,

ход осадков и температуры воздуха. Получаемое с помощью модели зна-

чение прогнозируемой характеристики речного стока определяется функ-

цией M (X, Z), которая выражается в неявном виде, но известна после ка-

либровки модели [11, 13, 17, 21].

При составлении прогноза вектор X известен, а неопределенность ве-

роятных значений вектора Z учитывается путем использования достаточно

продолжительного ряда Z₁, …, Z_N, который может быть получен с помо-

щью стохастической модели сценариев хода метеорологических элементов

(генератора погоды) или, что чаще, из архива фактически наблюдавшихся

сценариев. Последовательное усвоение моделью этих сценариев позволяет

получить ряд M (X, Z₁), …, M (X, Z_N), на основе которого получается про-

~

гноз , равный среднему арифметическому членов этого ряда, и оценива-

Y

~

ется условная функция распределения вероятностей

ожидаемых зна-

F(y)

чений прогнозируемой величины или ее условная функция обеспеченности

~

[8, 9, 13, 16].

Y ( p)

Следует отметить, что существуют системы ансамблевого прогноза,

которые преодолевают данный недостаток путем использования различ-

ных наборов начальных условий гидрологической модели, применяют не-

сколько гидрологических моделей или используют различные параметри-

зации модели. Ввиду сложности их реализации такие системы пока

используются достаточно редко в оперативной практике гидрологического

прогнозирования [13, 22].

Подход получения ансамблевого прогноза, основанный на использо-

вании гидрологической модели и ансамбля реализаций хода метеорологи-

ческих величин за период заблаговременности прогноза, может иметь су-

щественный недостаток. Он состоит в том, что оцениваемое таким образом

146

Гидрологические прогнозы

условное распределение вероятностей прогнозируемой величины учиты-

вает не всю неопределенность ее возможных значений, а только ту, которая

обусловлена неопределенностью хода метеорологических характеристик

в течение периода заблаговременности гидрологического прогноза. Дис-

~

S_A²

персия такого распределения

всегда будет меньше среднего квадрата

~

2

ошибки прогноза S². Разность S²‒

между этими величинами определяет

S_A

погрешность модельных расчетов, получаемых при усвоении моделью

фактического хода метеорологических элементов в течение периода забла-

говременности прогноза. Эта погрешность обусловлена неизбежными слу-

чайными ошибками определения образующих вектор X гидрометеорологи-

ческих характеристик, ошибками определения самой прогнозируемой

величины Y, недостаточной адекватностью и полнотой описания процессов

формирования речного стока с помощью используемой модели и ограни-

ченностью данных наблюдений, используемых для ее калибровки [3, 7, 16,

22]. Приводимые ниже примеры демонстрируют различие между получае-

~

S_A²

мой с помощью ансамблевого подхода дисперсией

нием квадрата ошибки прогноза S²[6].

и средним значе-

Пример 1

В ИВП РАН совместно с ФГБУ «Гидрометцентр России» на базе фи-

зико-математической модели формирования речного стока ECOMAG раз-

работана методика долгосрочного прогнозирования объема притока воды

в Чебоксарское водохранилище за второй квартал с использованием архив-

ного ансамбля сценариев хода метеорологических элементов в период за-

благовременности прогноза за годы с 1967 по 2014 [5, 15]. На основе дан-

ной методики в Гидрометцентре России выпускаются оперативные

прогнозы.

Анализ проверочных прогнозов показал, что применение ансамбле-

вого подхода привело к занижению дисперсии ошибок прогнозов в 1,4

раза. Следовательно, использование ансамблевого прогноза в данном слу-

чае сужает доверительный интервал для вероятных значений прогнозируе-

мой величины менее чем на 10 %, что представляется вполне приемлемым.

В конце марта 2025 года был выпущен прогноз притока воды за второй

квартал 2025 года. Использование архивных данных о ходе метеорологи-

ческих элементов в период заблаговременности прогноза за годы с 1967 по

2014 позволило получить условную функцию распределения вероятностей

~

ожидаемых значений притока за второй квартал, на основе которой

F(y)

рассчитаны значения прогноза по форме 2. Таким образом, наиболее веро-

ятная величина притока воды за второй квартал 2025 года (медианное зна-

чение) составляет 9,42 км³; доверительный интервал, в который прогнози-

руемая величина попадет с вероятностью 50 %, включает значения от 8,41

до 10,7 км³, с вероятностью 90 % ‒ от 6,5 до 14,0 км³(рис. 1).

Симонов Ю.А., Христофоров А.В.

147

Рис. 1. Прогноз притока воды в Чебоксарское водохранилище

за второй квартал 2025 г. на основе ансамблевого подхода.

Fig. 1. Forecast of water inflow into the Cheboksary reservoir for the

second quarter of 2025 based on the ensemble approach.

Пример 2

В ФГБУ «Гидрометцентр России» на основе шведской концептуаль-

ной модели HBV-96 разработаны методики долгосрочного прогнозирова-

ния среднемесячных расходов воды на реках бассейна Камы в течение зим-

него периода. Ансамбль сценариев хода метеорологических элементов в

течение периода заблаговременности прогноза брался за годы с 1987 по

2020 [7]. Анализ проверочных прогнозов за период с 2002 по 2020 год по-

казал, что для реки Вишера у пос. Рябинино применение ансамблевого под-

хода привело к занижению дисперсии ошибок прогнозов январского стока

в 2,2 раза. Следовательно, использование ансамблевого прогноза в данном

случае сужает доверительный интервал для вероятных значений прогнози-

руемой величины на 48 %, что представляется нежелательным.

Пример 3

В ФГБУ «Гидрометцентр России» на основе концептуальной модели

DWAT разработана методика долгосрочного прогнозирования среднеме-

сячных расходов воды на реке Ока у г. Калуга в течение маловодного пе-

риода года. Ансамбль сценариев хода метеорологических элементов в те-

чение периода заблаговременности прогноза брался за годы с 1990 по 2021

148

Гидрологические прогнозы

[7]. Анализ проверочных прогнозов за период с 2005 по 2021 год показал,

что применение ансамблевого подхода привело к занижению дисперсии

ошибок прогнозов в 3,2 раза. Следовательно, использование ансамблевого

прогноза в данном случае сужает доверительный интервал для вероятных

значений прогнозируемой величины на 79 %, что представляется недопу-

стимым.

По мере увеличения возможностей получения более надежной гидро-

метеорологической информации и внедрения более совершенных моделей

формирования речного стока неопределенность хода метеорологических

элементов в течение заблаговременности прогноза будет становиться ре-

шающим фактором, определяющим точность его прогнозирования, и сле-

довательно, использование ансамблевого подхода при получении вероят-

ностной формы выпуска гидрологических прогнозов будет все более

оправданным. Однако пока этот подход может существенно занижать ве-

роятный диапазон ожидаемых значений прогнозируемой величины, что со-

вершенно недопустимо с точки зрения большинства потребителей прогно-

стической продукции [2, 8, 18, 20].

С учетом отмеченных обстоятельств, рекомендуемые ниже методы по-

лучения вероятностной формы выпуска прогнозов основаны на статисти-

~

ческом анализе ряда

,…,

, содержащего значения гидроло-

(Y₁,Y₁)

(Y_n,Y_n)

~

гической характеристики

и ее прогноза в детерминированной форме

Y

[3, 13]. Эти методы применимы для любых вариантов прогнозирования ха-

рактеристик речного стока различной заблаговременности и соответ-

ствуют традиционному подходу, закрепленному в Наставлении [12].

Метод 1 выпуска прогноза в вероятностной форме

Первый рекомендуемый метод получения вероятностной формы вы-

пуска прогноза на основе статистического анализа ряда проверочных про-

~

гнозов

,…,

основан на двух предположениях.

(Y₁,Y₁)

(Y_n,Y_n

)

1. При любых возможных вариантах располагаемой гидрометеороло-

~

гической информации дисперсия ошибки прогноза

‒

должна быть по-

Y

стоянной и, следовательно, равной среднему значению квадрата ошибки

прогноза S². Методы оценки среднеквадратической погрешности прогноза

S подробно изложены в работах [3, 6, 7].

2. При любых возможных вариантах располагаемой гидрометеороло-

гической информации ошибки прогноза подчиняются нормальному рас-

пределению вероятностей. Следовательно, при располагаемой гидрометео-

рологической информации величина

распределения:

подчиняется условной функции

Y

~

y −Y

=

,

(1)

F(y)

Φ(

)

S

Симонов Ю.А., Христофоров А.В.

149

где

‒ функция Лапласа, равная

Φ(x)

2

x

u

e⁻du

1

2

=

.

(2)

Φ(x)

∫

2π

− ∞

Функция Лапласа и соответствующая ей кривая обеспеченности

x

( p)

определяются доступными компьютерными программами или таблицами,

содержащимися во многих публикациях по теории вероятностей [3, 6].

Для проверки первого предположения рекомендуется проверить гипо-

тезу о том, что полученная по ряду проверочных прогнозов оценка коэф-

фициента корреляции r между абсолютными значениями ошибки прогноза

~

и значениями самого прогноза при i = 1, …, n отличается от нуля

Y_i

Y_i−Y_i

только в пределах вероятной погрешности его определения.

Для проверки этого предположения рекомендуется статистический

критерий Питмена при уровне значимости

α

= 5%, равном вероятности от-

вергнуть верную гипотезу [6]. Согласно данному критерию, оценка r от-

личается от нуля статистически недостоверно, и следовательно, первое

предположение может быть принято, если выполняется неравенство:

| r | n−2

<

,

(3)

τ(2,5%,n−2)

1−r²

где

‒ квантиль распределения Стьюдента с n – 2 степенями

τ(2,5%,n−2)

свободы, соответствующий вероятности превышения 2,5 %. В табл. 1 по-

мещены критические значения

для различных величин n – 2

τ(2,5%,n−2)

при

α

= 5 % [6].

Таблица 1. Критические значения

для критерия Питмена при

τ(2,5%,n−2)

α

= 5 %

Table 1. Critical values

for the Pitman criterion

α

= 5%

100

τ(2,5%,n−2)

10

15

20

30

40

60

80

200

n – 2

τ(2,5%,n−2)

2,23 2,13 2,09 2,04 2,02 2,00 1,99 1,98 1,97

Для проверки второго предположения рекомендуется использовать

статистический критерий согласия Крамера – Мизеса – Смирнова [6]. Ис-

пользование данного критерия предусматривает следующие процедуры:

1) для всех i = 1, …, n члены ряда ошибок проверочных прогнозов

~

‒

преобразуются в величины

Y_i

~

Y_i−Y_i

z_i

Φ(

)

=

;

(4)

S

150

Гидрологические прогнозы

2) формируется ранжированный ряд z₍₁₎≤...≤ z_(n)

;

3) рассчитывается статистика критерия:

n

1

2i −1

2n

ϖ ²

2

=

+

(z −

)

.

(5)

∑

(i)

i=1

12n

При уровне значимости

α

= 5% гипотеза о нормальном распределении

вероятностей ошибок прогноза принимается, если выполняется неравен-

ство ²< 0,46.

ϖ

Анализ различных методик прогнозирования речного стока показал,

что для большинства долгосрочных и многих среднесрочных прогнозов

предположения о постоянстве дисперсии ошибок прогноза и о нормально-

сти их распределения выполняются [3]. Следовательно, для таких методик

при любых возможных вариантах располагаемой гидрометеорологической

~

информации условная функция распределения вероятностей

может

F(y)

~

определяться формулой (1), а условная функция обеспеченности

жет определяться формулой:

мо-

Y ( p)

~

=

.

(6)

Y ( p) Y + x( p)S

Значения функции обеспеченности x(p) нормального распределения

вероятностей приведены в табл. 2.

Таблица 2. Значения функции обеспеченности x(p) нормального рас-

пределения вероятностей

Table 2. Values of the function x(p) of the normal probability distribution

50%

40%

30%

20%

10%

p

0,000

0,253

0,524

0,842

1,282

x(p)

Для формы 1 справедливы следующие соотношения:

1.1. Вероятность попадания ожидаемого значения характеристики

Y

~

a −Y

b−Y

в интервал

равна разности

.

(a;b)

Φ(

)−Φ(

)

S

1.2. Вероятность того, что прогнозируемая величина окажется меньше

~

a −Y

S

критически малого значения a, равна

.

Φ(

)

1.3. Вероятность того, что прогнозируемая величина окажется больше

~

b−Y

S

критически большого значения b, равна 100% ‒

.

Φ(

)

Для формы 2 справедливы следующие соотношения:

Симонов Ю.А., Христофоров А.В.

151

2.1. Концы доверительного интервала, в который ожидаемое значение

характеристики может попасть с заданной вероятностью P = 50% ‒ 95%,

Y

равны:

~

=

;

=

,

(7)

a_PY − x( p / 2)S b_PY + x( p / 2)S

где р = 100% ‒ P. Значения x(p/2) приведены в табл. 3.

Таблица 3. Значения функции обеспеченности x(p/2) нормального рас-

пределения вероятностей

Table 3. Values of the function x(p/2) of the normal probability distribution

p

40%

30%

20%

10%

x(p/2)

0,842

1,036

1,282

1,645

2.2. Критически малое значение, меньше которого прогнозируемая ве-

~

личина Y может оказаться с вероятностью p = 5% – 50%, равно

.

Y − x( p)S

2.3. Критически большое значение, больше которого прогнозируемая

величина Y может оказаться с вероятностью p = 5% – 50%, равно

~

Y + x( p)S _.

Пример 4

В ФГБУ «Гидрометцентр России» разработана методика долгосроч-

ного прогнозирования объема притока весеннего половодья

км³в

W_пол.

~

Ириклинское водохранилище на р. Урал. Прогноз

определяется по

W_пол.

линейной зависимости объема весеннего притока от известного к дате со-

ставления прогноза 5 марта максимального запаса воды в снеге и показа-

теля предзимней увлажненности водосбора в предыдущем году. Продол-

жительность ряда проверочных прогнозов за период с 2003 по 2024 год

составляет n = 22 года. Оценка среднеквадратической погрешности про-

гноза равна S = 0,39 км³[1]. Выполненная проверка с применением крите-

риев Питмена и Крамера – Мизеса – Смирнова показала применимость ре-

комендуемого первого метода.

~

Для весеннего половодья 2024 года был получен прогноз

2,78 км³. Реализация вероятностной формы 2 (вариант 2.1) выпуска

=

W_пол.

прогноза для 2024 года определяется концами доверительного интервала

~

(

км³,

км³), в который величина

может попасть с заданной ве-

W_пол.

a_P

b_P

роятностью P = 60% – 90% (табл. 4).

Фактическое значение объема притока весеннего половодья в

Ириклинское водохранилище в 2024 году оказалось равным 3,05 км³, и оно

попало во все указанные в табл. 4 доверительные интервалы. Таким обра-

зом, в 2024 году прогноз в вероятностной форме 2 оказался полностью

оправдавшимся.

152

Гидрологические прогнозы

~

Таблица 4. Концы

и

условного доверительного интервала для

a_Pb_P

объема притока весеннего половодья в Ириклинское водохранилище

в 2024 году

~

Table 4. Bounds

и

of prediction interval for the volume of spring

a_Pb_P

flood inflow into the Iriklinskoye reservoir in 2024

60%

2,45

70%

2,38

80%

2,28

90%

2,14

P

~

км³

a_P

~

км³

3,11

3,19

3,28

3,42

b_P

Метод 2 выпуска прогноза в вероятностной форме

Анализ различных методик прогнозирования речного стока показал,

что для большинства краткосрочных и многих среднесрочных прогнозов

предположения о постоянстве дисперсии ошибок прогноза или о нормаль-

ности их распределения не выполняются. Распределение вероятностей

~

ошибок прогноза

‒

является асимметричным, а их абсолютные значе-

Y

~

ния

в среднем увеличиваются с ростом величины прогноза

[3].

Y

Y −Y

Для таких методик рекомендуется второй метод получения вероят-

ностной формы выпуска прогноза, который также основан на двух предпо-

ложениях.

1. При любых возможных вариантах располагаемой гидрометеороло-

~

гической информации дисперсия ошибки

‒

прогноза логарифма

lnY lnY

характеристики речного стока Y должна быть постоянной и, следовательно,

S ²

равной среднему значению квадрата ошибки такого прогноза _ln. Оценка

среднеквадратической погрешности

прогноза величины lnY выполня-

S_ln

ется методами, изложенными в работах [3, 6, 7].

2. При любых возможных вариантах располагаемой гидрометеороло-

~

гической информации ошибки

‒

прогноза величины

подчи-

lnY

lnY lnY

няются нормальному распределению вероятностей с нулевым средним и

стандартным отклонением _ln. Следовательно, при располагаемой гидро-

S

метеорологической информации величина

подчиняется условной

lnY

функции распределения:

~

ln y −lnY

=

,

(8)

F(y)

Φ(

)

S_ln

где

‒ рассмотренная выше функция Лапласа.

Φ(x)

~

Условная функция обеспеченности

определяется формулой:

Y ( p)

~

=

,

(9)

Y ( p) Exp[lnY + x( p)S_ln]

где

^u‒ экспоненциальная функция; x(p) ‒ рассмотренная выше

Exp(u) = e

функция обеспеченности нормального распределения вероятностей.

Симонов Ю.А., Христофоров А.В.

153

Для проверки первого предположения рекомендуется проверить гипо-

тезу о том, что полученная по ряду проверочных прогнозов оценка коэф-

фициента корреляции r_lnмежду абсолютными значениями ошибки лога-

~

рифмического прогноза

и значениями самого прогноза

lnY_i

lnY_i−lnY_i

при i = 1, …, n отличается от нуля в пределах вероятной погрешности его

определения. Предложение проверяется с помощью рассмотренного выше

критерия Питмена и использования формулы (3) после замены коэффици-

ента r коэффициентом r_ln

.

Для проверки второго предположения рекомендуется использовать

рассмотренный выше критерий Крамера – Мизеса – Смирнова. При этом

формула (5) сохраняется, а формула (4) приобретает вид:

~

lnY_i−lnY_i

z_i

Φ(

)

=

.

(10)

S_ln

Если проверка обоих предположений прошла успешно, что харак-

терно для большинства методик краткосрочного и среднесрочного прогно-

зирования речного стока, для получения вероятностной формы выпуска

прогноза рекомендуется второй метод [3].

Все указанные выше вероятностные формы выпуска прогноза опреде-

ляются полученным в детерминированной форме в виде конкретного числа

~

прогнозом логарифма характеристики речного стока Y и показателем

lnY

среднеквадратической погрешности таких прогнозов

.

S_ln

Для формы 1 справедливы следующие соотношения:

1.1. Вероятность попадания ожидаемого значения характеристики

Y

~

ln a −lnY

lnb−lnY

в интервал

равна разности

.

(a;b)

Φ(

)−Φ(

)

S_ln

1.2. Вероятность того, что прогнозируемая величина окажется меньше

~

ln a −lnY

критически малого значения a, равна

.

Φ(

)

S_ln

1.3. Вероятность того, что прогнозируемая величина окажется больше

~

lnb−lnY

критически большого значения b, равна 100% ‒

.

Φ(

)

S_ln

Для формы 2 справедливы следующие соотношения:

2.1. Концы доверительного интервала, в который ожидаемое значение

характеристики

Y

может попасть с заданной вероятностью P = 50% ‒ 95%,

равны:

~

=

;

=

,

(11)

a_P

b_P

Exp[lnY − x( p / 2)S_ln]

Exp[lnY + x( p / 2)S_ln]

Exp(u) = e^u

где

‒ экспоненциальная функция; р = 100% ‒ P.

154

Гидрологические прогнозы

2.2. Критически малое значение, меньше которого прогнозируемая ве-

личина Y может оказаться с вероятностью p = 5% – 50%, равно

~

;

Exp[lnY − x( p)S_ln]

2.3. критически большое значение, больше которого прогнозируемая

величина Y может оказаться с вероятностью p = 5% – 50%, равно

~

.

Exp[lnY + x( p)S_ln]

Пример 5

В ФГБУ «Гидрометцентр России» для рек Черноморского побережья

Кавказа разработана методика ежедневного краткосрочного прогнозирова-

ния среднесуточных расходов воды с заблаговременностью 1 сутки. Мето-

дика основана на концептуальной модели формирования талого и дожде-

вого стока горных рек. Параметры модели оценивались для каждого месяца

в отдельности по данным гидрометеорологических наблюдений. Для реки

Сочи у г. Сочи анализировался ряд проверочных прогнозов за период с

1984 по 2005 год продолжительностью (с учетом пропусков) n = 558 суток.

Выполненная проверка с применением критериев Питмена и Кра-

мера – Мизеса – Смирнова показала применимость рекомендуемого вто-

рого метода выпуска прогноза в вероятностной форме для данного речного

створа [4].

В качестве дополнительной вероятностной формы 1 (вариант 1.3) вы-

пуска прогноза среднесуточных расходов воды в створе р. Сочи – г. Сочи

~

для каждого месяца определена вероятность

превышения соответ-

P (Q)

кр

ствующих различным уровням паводковой опасности критических расхо-

~

дов воды

= 300, 500 и 640 м³/с в зависимости от прогноза . График

Q

кр

~

функции

для ноября, наиболее опасного месяца в районе города

P (Q)

кр

Сочи с показателем

= 0,66, представлен на рис. 2.

S_ln

Заключение

В отделе речных гидрологических прогнозов ФГБУ «Гидрометцентр

России» разработаны рекомендации по выпуску прогнозов речного стока в

вероятностной форме, которая в дополнение к выпускаемому в виде кон-

кретного числа прогнозу в детерминированной форме дает представление

о диапазоне возможных значений прогнозируемой величины в зависимо-

сти от располагаемой гидрометеорологической информации.

Рассматриваются различные варианты вероятностной формы выпуска

прогноза, включая условную функцию распределения вероятностей про-

гнозируемой величины и ее условную функцию обеспеченности, соответ-

ствующие располагаемой к дате составления прогноза гидрометеорологи-

ческой информации. В дополнение к ним рассматриваются форма 1,

определяющая условные вероятности попадания прогнозируемой

Симонов Ю.А., Христофоров А.В.

155

величины в заданные интервалы, и форма 2, определяющая условные ин-

тервалы, в которые прогнозируемая величина может попадать с заданной

вероятностью.

~

Рис. 2. Графики функции прогностической вероятности

в

P (Q)

кр

створе р. Сочи – г. Сочи для ноября [4].

Fig. 2. Graphs of the forecasted probability function

~

at the So-

P (Q)

кр

chi River – city of Sochi for November [4].

Теоретически обосновано и на конкретных примерах продемонстри-

ровано недопустимое с практической точки зрения занижение вероятного

диапазона ожидаемых значений прогнозируемой величины при использо-

вании ансамблевого подхода. Обоснована целесообразность получения ве-

роятностных форм выпуска прогнозов на основе статистического анализа

рядов проверочных прогнозов.

Для долгосрочных и некоторых среднесрочных прогнозов речного

стока предлагается метод получения вероятностной формы их выпуска,

основанный на предположении, что при любых возможных вариантах рас-

полагаемой гидрометеорологической информации ошибки прогноза под-

чиняются нормальному распределению вероятностей с постоянной дис-

персией.

Для краткосрочных и некоторых среднесрочных прогнозов предлага-

ется метод получения вероятностной формы их выпуска, основанный на

предположении, что при любых возможных вариантах располагаемой

гидрометеорологической информации прогноз логарифмов характеристик

речного стока дает ошибки, которые подчиняются нормальному распреде-

лению вероятностей с постоянной дисперсией.

156

Гидрологические прогнозы

Приведены статистические критерии, предназначенные для проверки

применимости каждого из методов. Даны примеры выпуска долгосрочных

и краткосрочных прогнозов в вероятностной форме, полученной с исполь-

зованием каждого из предлагаемых методов.

Внедрение предлагаемых рекомендаций в систему оперативного гид-

рологического прогнозирования позволит получать научно обоснованные

выводы об ожидаемых значениях характеристик речного стока.

Работа выполнена в Институте вычислительной математики имени

Г.И. Марчука Российской академии наук при финансовой поддержке

Российского научного фонда (проект № 22-17-00247-п).

Список литературы

1. Арефьева О.Н., Голоднюк Н.Е., Симонов Ю.А., Христофоров А.В., Юмина. Н.М.

Прогнозирование притока воды в Ириклинское водохранилище // Гидрометеорологические

исследования и прогнозы. 2025. № 1 (395). С. 39-57.

2. Асарин А.Е., Бестужева К.Н., Христофоров А.В., Чалов С.Р. Водохозяйственные

расчеты. М.: Изд-во МГУ, 2012. 142 с.

3. Борщ С.В., Христофоров А.В. Оценка качества прогнозов речного стока // Труды

Гидрометцентра России. 2015. Специальный выпуск 355. 198 с.

4. Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В. Система прогнозирования паводков и

раннего оповещения о наводнениях на реках Черноморского побережья Кавказа и бассейна

Кубани // Труды Гидрометцентра России. 2015. Специальный выпуск 356. 247 с.

5. БорщС.В., Гельфан А.Н. Морейдо В.М., Мотовилов Ю.Г., Симонов Ю.А. Долгосроч-

ный ансамблевый прогноз весеннего притока воды в Чебоксарское водохранилище на ос-

нове гидрологической модели: результаты проверочных и оперативных испытаний // Труды

Гидрометцентра России. 2017. Вып. 366. С. 68-86.

6. Борщ С.В., Христофоров А.В., Юмина Н.М. Статистический анализ в гидрологиче-

ских прогнозах. М.: Изд-во Гидрометцентра России, 2018. 160 с.

7. Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В. Прогнозирование стока рек России.

М.: Изд-во Гидрометцентра России, 2023. 200 с.

8. Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В. Выбор методов прогнозирования реч-

ного стока // Гидрометеорологические исследования и прогнозы. 2024. № 1 (391). С. 71-117.

9. Гельфан А.Н. Динамико-стохастическое моделирование формирования талого

стока. М.: Наука, 2007. 276 с.

10. Кучмент Л.С., Гельфан А.Н. Ансамблевые долгосрочные прогнозы весеннего

половодья

с

помощью физико-математических моделей формирования стока //

Метеорология и гидрология. 2007. № 2. С. 76-88.

11. Мотовилов Ю.Г., Гельфан А.Н. Модели формирования стока в задачах гидрологии

речных бассейнов. М.: Изд-во РАН, 2019. 300 с.

12. Наставление по службе прогнозов. Раздел 3. Часть 1. Прогнозы режима вод суши.

Л.: Гидрометеоиздат, 1962. 193 с.

13. Adams T.E., Pagano T.C. Flood Forecasting – A Global Perspective. Academic Press,

2016. 480 p.

14. Buizza R., Hollingsworth A., Lalaurette F., Ghelli A. Probabilistic Predictions of Precip-

itation Using the ECMWF Ensemble Prediction System // Weather and Forecasting. 1999. Vol. 14.

Р. 168-189.

15. Gelfan A., Moreydo V., Motovilov Y., Solomatine D. Long-term ensemble forecast of

snowmelt inflow into the Cheboksary Reservoir under two different weather scenarios // Hydrol.

Earth Syst. Sci. 2018. Vol. 22. P. 2073-2089,

16. Goldin B. Quantitative precipitation forecasting in the UK // Journal of Hydrology. 2000.

Vol. 239, is. 1. P. 286-305. DOI: 10.1016/S0022-1694(00)00354-1

Симонов Ю.А., Христофоров А.В.

157

17. Greco M., Cravetta A., Della Morte R. River flow. London: Taylor and Francis Group,

2004. 1024 p.

18. Guide to Hydrological Practices. Volume II. Management of Water Resources and Ap-

plication of Hydrological Practices // WMO-No. 168. 2009. 302 p.

19. Krzysztofowicz R. The case for probabilistic forecasting in hydrology // Journal of Hy-

drology. 2001. Vol. 249. P. 2-9.

20. Lambert A.O. Development and Use of the Management Overview of Flood Forecasting

Systems (MOFFS) // WMO/TD-No. 769. Technical Reports in Hydrology and Water Resources

No. 55. Geneva: HWR, 1994. 23 p.

21. Manual on Flood Forecasting and Warning // WMO-No. 1072. 2011. 138 p.

22. Pappenberger F., Pagano T.C., Gelfan A., Kuchment L. et al. Hydrological ensemble

prediction systems around the Globe // Handbook of Hydrometeorological Ensemble Forecasting.

Berlin: Springer Heidelberg, 2016. P. 1-35. DOI: 10.1007/978-3-642-40457-3-47-1

References

1. Arefyeva O.N., Golodnyuk N.E., Simonov Yu.A., Khristoforov A.V., Yumina N.M. Fore-

casting water inflow into the Iriklinskoe Reservoir. Gidrometeorologicheskie issledovaniya i

prognozy [Hydrometeorological Research and Forecasting], 2025, vol. 395, no. 1, pp. 39-57

[in Russ.].

2. Asarin A.E., Bestuzheva K.N., Khristoforov A.V., Chalov S.R. Vodokhozyaistvennie

rascheti. M.: Izd-vo MGU publ., 2012, 142 p. [in Russ.].

3. Borsch S.V., Khristoforov A.V. Hydrologic flow forecast verification. Trudy

Gidromettsentra Rossii [Proceedings of the Hydrometcentre of Russia], 2015, vol. 355, 198 p.

[in Russ.].

4. Borsch S.V., Simonov Y.A., Khristoforov A.V. Flood forecasting and early warning system

for rivers of the Black Sea shore of Caucasian Region and the Kuban River basin. Trudy

Gidromettsentra Rossii [Proceedings of the Hydrometcentre of Russia], 2015, vol. 356, 247 p.

[in Russ.].

5. Borsch S.V., Gelfan A.N., Moreydo V.M., Motovilov Yu.G., Siminov Yu.A. Long-termen-

semble forecasting of spring inflow into the Cheboksary reservoir based on the hydrological

model: results of operational testing. Trudy Gidromettsentra Rossii [Proceedings of the Hy-

drometcentre of Russia], 2017, vol. 366, pp. 68-86 [in Russ.].

6. Borsch S.V., Khristoforov A.V., Yumina N.M. Statisticheskiy analiz v gidrologicheskih

prognozah. Moscow, Hydrometcenter of Russia publ., 2018, 160 p. [in Russ.].

7. Borshch S.V., Simonov Yu.A., Khristoforov A.V. Prognozirovanie stoka rek Rossii

[Streamflow forecasting in Russia]. Moscow, Hydrometcenter of Russia publ., 2023, 200 p.

[in Russ.].

8. Borshch S.V., Simonov Yu.A., Khristoforov A.V. Selection of methods for streamflow fore-

casting. Gidrometeorologicheskie issledovaniya i prognozy [Hydrometeorological Research and

Forecasting], 2024, vol. 391, no. 1, pp. 71-117 [in Russ.].

9. Gel'fan A.N. Dinamiko-stohasticheskoe modelirovanie formirovaniya talogo stoka. M.:

Nauka publ., 2007, 276 p. [in Russ.].

10. Kuchment L.S., Gel'fan A.N. Long-term ensemble forecast of snowmelt runoff with the

help of the physics-based models of runoff generation. Russian Meteorology and Hydrology, 2007,

vol. 32, no. 2, pp. 126-134.

11. Motovilov Yu.G., Gel'fan A.N. Modeli formirovaniya stoka v zadachah gidrologii rech-

nyh basseynov. Moscow, Russian Academy of Sciences, 2008, 394 p. [in Russ.].

12. Nastavlenie po sluzhbe prognozov. Razdel 3. Part 1. Prognozy rezhima vod sushi. Len-

ingrad, Gidrometeoizdat publ., 1962, 193 p. [in Russ.].

13. Adams T.E., Pagano T.C. Flood Forecasting – A Global Perspective. Academic Press

publ., 2016, 480 p.

158

Гидрологические прогнозы

14. Buizza R., Hollingsworth A., Lalaurette F., Ghelli A. Probabilistic Predictions of Precip-

itation Using the ECMWF Ensemble Prediction System. Weather and Forecasting, 1999, vol. 14,

pp. 168-189. DOI: 10.1175/1520-0434(1999)014<0168:PPOPUT>2.0.CO;2

15. Gelfan A., Moreydo V., Motovilov Y., Solomatine D. Long-term ensemble forecast of

snowmelt inflow into the Cheboksary Reservoir under two different weather scenarios. Hydrol.

Earth Syst. Sci., 2018, vol. 22, pp. 2073-2089. DOI: 10.5194/hess-22-2073-2018.

16. Goldin B. Quantitative precipitation forecasting in the UK. Journal of Hydrology, 2000,

vol. 239, is. 1, pp. 286-305. DOI: 10.1016/S0022-1694(00)00354-1

17. Greco M., Cravetta A., Della Morte R. River flow. London, Taylor and Francis Group,

2004, 1024 p.

18. Guide to Hydrological Practices. Volume II. Management of Water Resources and Ap-

plication of Hydrological Practices. WMO-No. 168, 2009, 302 p.

19. Krzysztofowicz R. The case for probabilistic forecasting in hydrology. Journal of Hydrol-

ogy, 2001, vol. 249, pp. 2-9.

20. Lambert A.O. Development and Use of the Management Overview of Flood Forecasting

Systems (MOFFS). Technical Reports in Hydrology and Water Resources No. 55. Geneva, HWR,

1994, 23 p.

21. Manual on Flood Forecasting and Warning. WMО-No. 1072. WMО, Geneva, 2011,

138 p.

22. Pappenberger F., Pagano T.C., Gelfan A., Kuchment L. et al. Hydrological ensemble

prediction systems around the Globe. Handbook of Hydrometeorological Ensemble Forecasting.

Berlin: Springer Heidelberg, 2016, pp. 1-35. DOI: 10.1007/978-3-642-40457-3-47-1

Поступила 26.05.2025; одобрена после рецензирования 04.06.2025;

принята в печать 18.06.2025.

Submitted 26.05.2025; approved after reviewing 04.06.2025;

accepted for publication 18.06.2025.