Гидрометеорологические исследования и прогнозы. 2024. № 4 (394). С. 58-77

58

DOI: https://doi.org/10.37162/2618-9631-2024-4-58-77

УДК 551.55+551.559

Масштабы длины турбулентости

в городской среде

и их связь со спектром флуктуаций скорости

А.В. Глазунов^1,2,3, Е.В. Мортиков^2,1, А.В. Дебольский^2,4

¹Институт вычислительной математики имени Г.И. Марчука РАН, г. Москва, Россия;

²Научно-исследовательский вычислительный центр

Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, г. Москва, Россия;

³Московский Центр фундаментальной и прикладной математики, г. Москва, Россия;

⁴Институт физики атмосферы имени А.М. Обухова РАН, г. Москва, Россия

glas@gmail.com

С помощью вихреразрешающей модели ИВМ РАН проведены расчеты турбу-

лентных нейтрально-стратифицированных течений над идеализированными поверх-

ностями городского типа. Показано, что масштабы длины, необходимые для постро-

ения многослойных локально-одномерных RANS-моделей турбулентности

в

городской среде, связаны с пространственными спектрами флуктуаций скорости.

Для вычисления аналога пространственного спектра внутри городского слоя, содер-

жащего объекты («здания»), предложен алгоритм, основанный на применении гипо-

тезы «замороженной турбулентности» Тейлора. Предложено качественное объясне-

ние зависимости масштабов длины от морфологических характеристик поверхности.

Ключевые слова: пограничный слой атмосферы, турбулентность в городской

среде, вихреразрешающее моделирование, LES, пространственные спектры турбу-

лентности

Turbulent length scales in urban canopy flow

and their relation to velocity fluctuation spectra

A.V. Glazunov^1,2,3, E.V. Mortikov^2,1, A.V. Debolskiy^2,4

¹Marchuk Institute of Numerical Mathematics

of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia;

²Research Computing Center Lomonosov Moscow State University ^,Moscow, Russia;

³Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics 1 Moscow, Russia;

⁴A.M. Obukhov Institute of Atmospheric Physics Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

glas@gmail.com

This study presents results of numerical experiments of neutrally-stratified turbulent

flows over idealized urban surfaces using a Large-Eddy Simulation (LES) model. It is

shown that the turbulent length scales necessary for the formulation of multilayer local

one-dimensional Reynolds-Averaged Navier–Stokes (RANS) models of the urban canopy

are related to the spatial spectra of turbulence. An algorithm based on the application of

Taylor's frozen turbulence hypothesis is proposed to compute an analog of the spatial ve-

locity spectrum inside an urban layer containing objects («buildings»). A qualitative ex-

planation of the dependence of length scales on the morphological characteristics of the

urban surface is given.

Keywords: atmospheric boundary layer, urban canopy, large-eddy simulation, LES,

turbulence spatial spectra

Глазунов А.В., Мортиков Е.В., Дебольский А.В.

59

Введение

Многослойные модели (МСМ) турбулентности в городской среде ста-

новятся все более актуальными в связи с увеличением пространственного

разрешения численного прогноза погоды. В этих моделях городской слой,

содержащий крупные объекты (здания), рассматривается как некоторая по-

ристая среда, воздействующая на среднюю скорость течения и статистиче-

ские характеристики турбулентности. Предполагается, что это воздействие

можно описать параметрически с учетом типичных для ячейки расчетной

сетки геометрических параметров обтекаемых объектов (морфологии го-

родской застройки). В МСМ, помимо стандартного осреднения Рейноль-

дса по ансамблю состояний < . > ꢀ, вводится дополнительное осреднение

по горизонтали < . >_xy, охватывающее площадь, превышающую площадь

отдельных объектов (двойное осреднение, см., например, [2, 29]). На ос-

нове такого осреднения строится локально-одномерная модель, содержа-

щая расчетные уровни внутри городской среды и учитывающая среднюю

силу сопротивления, создаваемую зданиями, дополнительную генерацию

турбулентной кинетической энергии (ТКЭ) при обтекании объектов, транс-

формацию турбулентных масштабов под воздействием застройки и т. д.

Наиболее известной из моделей такого типа является модель ВЕР [15], ко-

торая, помимо расчета динамических эффектов взаимодействия турбулент-

ности с городской средой, содержит широкий набор параметризаций физи-

ческих процессов, таких как радиационный баланс, обмен теплом и влагой

с поверхностями земли и зданий, воздействия растительности на термоди-

намику течения и радиацию. В настоящее время имеется положительный

опыт включения многослойных моделей в крупномасштабные модели ат-

мосферы [24, 27, 30], что позволяет детализировать прогнозируемые ме-

теорологические параметры для крупных городских агломераций, более

точно рассчитать их значения вблизи поверхности земли и улучшить каче-

ство крупномасштабной модели циркуляции атмосферы за счет более точ-

ного представления городской поверхности.

В данной работе мы затронем довольно узкую, но актуальную про-

блему, стоящую при разработке МСМ, а именно – определение турбулент-

(

)

ных масштабов длины ꢁ_Tα/ℎ = ϕ_αꢂ/ℎ, λ₁, λ₂, λ₃, … , связанных с геомет-

рическими характеристиками группы обтекаемых объектов (зданий) и,

возможно, с иными воздействиями на турбулентность, например, с влия-

нием стратификации или с воздействием сил аэродинамического сопротив-

ления слоя растительности (здесь ℎ – средняя толщина городского слоя; ꢂ

– высота над поверхностью земли; λ₁, λ₂, λ₃, … – конечный набор безраз-

мерных морфологических параметров застройки, определяющих соответ-

ствующую безразмерную универсальную функцию ϕ_α). К возможным

морфологическим параметрам застройки можно отнести долю площади,

занятой зданиями λ_p= ꢃ_ꢄ/ꢃ_ꢅꢆꢅ(здесь ꢃ_ꢅꢆꢅ– общая площадь поверхности

земли; ꢃ_ꢄ– площадь горизонтального сечения зданий у поверхности),

60

Гидрометеорологические прогнозы, математическое моделирование

и отношение суммарной площади фронтальных сечений зданий к площади

поверхности земли λ_f= ꢃ_ꢇ/ꢃ_ꢅꢆꢅ

.

Имея параметризации для турбулентных масштабов длины можно по-

строить замкнутую модель турбулентности, связав между собой такие ха-

рактеристики, как градиенты средних значений метеопараметров по верти-

кали, кинетическая энергия флуктуаций, скорость диссипации ТКЭ,

турбулентные потоки импульса и скаляров. В нейтрально-стратифициро-

ванном турбулентном течении над плоской поверхностью в приземном

слое при больших числах Рейнольдса в силу автомодельности существует

единственный определяющий масштаб длины ꢂ, и все турбулентные мас-

штабы пропорциональны ему. Напротив, для городского слоя турбулент-

ные масштабы длины, связывающие между собой, например, поток

импульса τ и градиент средней скорости dꢈ/dꢂ или ТКЭ E^′и скорость ее

диссипации ε, не совпадают между собой и не пропорциональны друг

другу, так как отражают физические процессы, происходящие в разных

участках спектра турбулентных флуктуаций и, соответственно, могут по

разному зависеть от геометрических параметров застройки или иметь раз-

ные наборы определяющих параметров λ_i.

Наиболее распространенным подходом, позволяющим построить па-

раметризации для турбулентных масштабов, является использование дан-

ных вихреразрешающих моделей высокого пространственного разрешения

(Large Eddy Simulation, LES), в которых объекты, имитирующие здания,

представлены явным образом на сетке модели. В LES нестационарная ди-

намика в основном энергонесущем интервале спектра рассчитывается

явно, а влияние мелкомасштабной турбулентности учитывается при по-

мощи различных “подсеточных” моделей [28]. Турбулентное обтекание

объектов простых форм, характерных для городской застройки, воспроиз-

водится LES-моделями с хорошей точностью, если шаг сеток достаточно

мал (обычно требуется, чтобы на характерный размер объекта приходилось

порядка нескольких десятков узлов расчетной сетки, см., например, тесты

в работе [13]). В случаях упрощенной геометрии поверхностей городского

типа (ПГТ) численное моделирование (DNS и LES) позволяет получить

данные, не уступающие данным лабораторных измерений [4, 35]. Обще-

принятым методом вычисления турбулентных масштабов длины является

проведение больших серий расчетов турбулентных течений в состоянии

статистического равновесия при варьировании геометрии ПГТ [2, 17–19,

26]. Затем строятся эмпирические аппроксимации турбулентных масшта-

бов, найденных из усредненных по времени и по горизонтали данных LES.

На данный момент не существует консенсусного мнения по вопросу опти-

мального выбора определяющих морфологических параметров, в число

которых, помимо упомянутых выше ꢉ_ꢊи λ_ꢇ, могут входить параметры, от-

вечающие за ориентацию зданий, параметры, формализующие протяжен-

ность и ориентацию свободных пространств, а также параметры, отвечаю-

щие за форму объектов и вариации высот зданий (см., например, [18]).

Глазунов А.В., Мортиков Е.В., Дебольский А.В.

61

Перспективным направлением исследований городской турбулентности

является LES-моделирование течений над ПГТ с искусственно-сгенериро-

ванной случайной геометрией [25], удовлетворяющей набору признаков,

выбранных согласно введенной в работе [31] классификации типов город-

ской застройки на основе локальных климатических зон.

Отметим, что описанный полуэмпирический подход к построению ло-

кально-одномерных многослойных моделей городской турбулентности не

позволяет выявить физические причины вариаций искомых турбулентных

масштабов длины. Это осложняет выбор определяющих морфологических

параметров и не дает оснований для доказательного обоснования примени-

мости выбранного турбулентного замыкания. Например, увеличение или

(

)

| |^1/2

уменьшение безразмерного градиента скорости Φ_u= dꢈ/dꢂ ℎ/ τ

=

ℎ/ꢁ_ꢋꢌможет не соответствовать ожидаемому уменьшению или увеличе-

нию характерного размера турбулентных вихрей, переносящих импульс,

так как при наличии организованных структур, свойственных турбулент-

ности в городском слое, и при существенной пространственной неоднород-

ности течения средний поток импульса может быть не связан напрямую со

средним градиентом скорости (здесь ꢁ_ꢋꢌ– турбулентный масштаб длины

смешения Прандтля). В случае такого несоответствия применимость при-

ближения турбулентной вязкости может быть поставлена под сомнение, а

формально введенный турбулентный масштаб ꢁ_ꢋꢌтеряет ясный физиче-

ский смысл.

В [11, 12] было показано, что в пограничном слое атмосферы над ПГТ

анализ пространственных спектров и коспектров турбулентных флуктуа-

ций скорости может объяснить изменения турбулентных масштабов длины

под воздействием крупных шероховатостей нижележащей поверхности и

устойчивой стратификации. Тем самым спектральный анализ является

удобным инструментом для построения и уточнения локально-одномер-

ных моделей ПСА. Однако внутри городского слоя пространственный

спектр не может быть вычислен напрямую вследствие наличия объектов.

В данной работе для анализа данных LES мы воспользуемся гипотезой «за-

мороженной турбулентности» Тейлора, связывающей частотные и про-

странственные спектры. Будет показано, что на качественном уровне вари-

ации турбулентных масштабов длины, обусловленные изменениями

морфологии ПГТ, соответствуют трансформации спектров.

Данные для анализа были получены из расчетов вихреразрешающей

модели ИВМ РАН, описанной в работах [7, 8]. Эти расчеты были выпол-

нены для идеализированных ПГТ с небольшими значениями доли площади

ꢉ_ꢊ, занятой «зданиями». Такая постановка численного эксперимента не

позволяет напрямую сравнивать результаты моделирования с данными

натурных наблюдений. Однако мы надеемся, что выявленные закономер-

ности являются общими как для модельной постановки, так и для реальной

городской среды, а предложенный метод вычисления пространственных

62

Гидрометеорологические прогнозы, математическое моделирование

спектров может применяться, в том числе и для обработки данных

пульсационных измерений турбулентности в городе.

1. Турбулентные масштабы длины

В простейшем случае для того, чтобы рассчитать среднюю скорость

( )

ветра ꢈ ꢂ внутри городского слоя (см., например, [3]), достаточно задать

безразмерный коэффициент аэродинамического сопротивления городской

(

)

среды ꢍ_ꢎꢂ/ℎ, λ₁, λ₂, λ₃, … и турбулентный масштаб длины смешения

Прандтля

1/2

ꢏꢈ/ꢏꢂ ⁻¹; ꢁ_ꢋꢌ/ℎ = ϕ_ꢐꢋꢌꢂ/ℎ, λ₁, λ₂, λ₃, … ,

(1)

( )

|

(

)

ꢁ_ꢋꢌꢂ = τ_ꢅ

где ꢑ_ꢅ= ꢑ^′+ ꢑ̃ = < < ꢒ^′ꢓ^′> >_ꢔ,ꢕ+ < ꢒ�ꢓ� >_ꢔ,ꢕ– суммарный поток им-

пульса по вертикали, состоящий из турбулентного переноса нестационар-

ными флуктуациями < < ꢒ^′ꢓ^′> >_ꢔ,ꢕи переноса импульса средней по ан-

1

самблю компонентой течения < ꢒ�ꢓ� >_ꢔ,ꢕ

0F

.

Тогда

в

состоянии

( )

установившегося равновесия скорость ꢈ z может быть найдена из баланса

сил

ꢎτ

ꢘ

ꢖ_ꢄ+ ꢖ^ꢗꢔꢅ

−

= 0,

(2)

ꢎꢙ

где ꢖ^ext– внешнее воздействие, например, крупномасштабный градиент

давления, а ꢖ_B– сила аэродинамического сопротивления городского слоя:

( )

( ) ( )| ( )| ( )

ꢖ_ꢄꢂ = −ꢚ_ꢛꢂ ꢍ_ꢎꢂ ꢈ ꢂ ꢈ ꢂ .

(3)

Здесь a_s, ꢚ_ꢛ= м⁻¹– объемная плотность площади фронтального се-

чения.

[

]

При введении турбулентного масштаба длины ꢁ_ꢋꢌподразумевается,

что поток импульса может быть найден по модели турбулентной вязкости:

ꢎꢞ

2

|

τ_ꢅ= −ꢜ_ꢝ

;

ꢜ_ꢝ= ꢁ_ꢋꢌꢏꢈ/ꢏꢂ .

(4)

ꢎꢙ

Заметим, что это предположение не является очевидным для город-

ской среды, поскольку, наряду с мелкомасштабной стохастической турбу-

лентностью, импульс может эффективно переноситься стационарными и

нестационарными организованными крупными структурами, что не гаран-

тирует справедливость градиентного приближения (4). Уравнения (1–4)

при помощи дальнейших упрощений позволяют найти аналитические ре-

( )

шения для ꢈ ꢂ (см. [16; 33; 34]). Такие решения могут использоваться в

однослойных моделях городского полога (см. [32]), в которых возможность

вычисления турбулентных моментов высокого порядка отсутствует.

¹Здесь и далее мы будем называть потоками импульса ковариации флуктуаций вертикаль-

ной w и продольной u компонент скорости, а также будем опускать плотность воздуха ρ в

определениях сил и энергии, полагая, что уравнения несжимаемой жидкости уже соответ-

ствующим образом нормированы на референсную плотность ρ₀.

Глазунов А.В., Мортиков Е.В., Дебольский А.В.

63

В более сложных RANS-моделях городского слоя, позволяющих как

минимум оценить кинетическую энергию флуктуаций ꢟ, возникает необ-

ходимость задавать дополнительные масштабы длины. Например, в ꢜ − ꢁ

моделях турбулентности (модель 1.5-го порядка замыкания согласно клас-

сификации Меллора – Ямады [22]) нужно определить масштаб

ꢁ_ꢋεꢂ = ℎϕ_ꢐꢋεꢂ/ℎ, λ₁, λ₂, λ₃, … = ꢍ_εꢟ^3/2/ε,

( )

(5)

(

)

связывающий скорость диссипации ε с кинетической энергией флуктуаций

ꢟ (где ꢍ_ε– безразмерная константа, введенная для удобства дальнейшего

представления результатов). Кроме того, в этой модели коэффициент тур-

булентной вязкости вычисляется следующим образом:

ꢜ_ꢝ= ꢍ_ꢠꢁ_ꢋꢠꢟ^1/2

,

(6)

( )

(

)

где ꢍ_ꢠ– константа, а ꢁ_ꢋꢠꢂ = ℎϕ_ꢐꢋꢠꢂ/ℎ, λ₁, λ₂, λ₃, … турбулентный мас-

штаб длины:

ꢁ_ꢋꢠ= ꢍ_ꢠ⁻¹τ_ꢅꢟ

,

(7)

−1/2

−1

|

ꢏꢈ/ꢏꢂ

|

который тоже может быть найден по осредненным данным LES и аппрок-

симирован какой-либо нелинейной функцией, зависящей от безразмерной

высоты ꢂ/ℎ и от значений безразмерных морфологических параметров λ_ꢡ.

Аналогичным образом определяются турбулентные масштабы длины, поз-

воляющие вычислить турбулентные потоки скалярных величин и перенос

ТКЭ флуктуациями скорости и давления.

Альтернативный способ вычисления турбулентного масштаба длины

был реализован в работе [9], где вместо зависимости от набора морфологи-

ческих параметров λ_ꢡ, было предложено связать его с доступной в измере-

ниях характеристикой течения над городской средой – высотой вытеснения

ꢢ. Используя методы теории подобия, авторы предложили простую анали-

(

)

тическую аппроксимацию ꢁ_ꢋꢂ, ꢢ , которая несколько улучшила резуль-

таты расчетов скорости и концентрации примеси в МСМ городского слоя

по сравнению со стандартными подходами. Однако и этот полуэмпириче-

ский подход все же требует проверки и настройки на большой серии рас-

четов с LES-моделями.

2. Краткое описание LES-модели

Система уравнений несжимаемой жидкости LES-модели для компо-

нент фильтрованной скорости ꢒ_ꢡв тензорной форме записи выглядит сле-

дующим образом:

ꢦꢧꢨ

∂τ

∂ꢒ_ꢡꢒ_ꢤ

∂ꢥ_ꢤ

∂ꢒ_ꢡ

∂ꢩ

ꢡꢤ

+

= −

−

+ ꢖ^ꢗꢔꢅ

,

ꢡ

∂ꢣ

∂ꢥ_ꢤ

∂ꢥ_ꢡ

∂ꢒ_ꢡ

( )

9

= 0,

∂ꢥ_ꢡ

64

Гидрометеорологические прогнозы, математическое моделирование

где ꢖ^ꢗꢔꢅ– внешняя сила, действующая на течение; ꢩ – нормированные

ꢡ

ꢦꢧꢨ

ꢡꢤ

аномалии давления; τ

– тензор турбулентных напряжений, вычисляе-

мый при помощи смешанного локализованного динамического замыкания:

2

ꢛꢝꢪꢫ

ꢦꢧꢨ

ꢡꢤ

ꢛꢛꢝ

ꢡꢤ

τ

= τ_ꢡꢤ

+ τ

= −2�ꢬ_ꢛΔ� �ꢃ�ꢃ_ꢡꢤ+ �ꢒ_ꢡꢒ_ꢤ− ꢒ_ꢡꢒ_ꢤ�,

(10)

∂ꢭ

1

где ꢃ_ꢡꢤ= � _∂^∂_ꢔ^ꢭ

+

� – тензор скоростей деформации; ꢬ_ꢛꢥ, ꢰ, ꢂ, ꢣ – без-

ꢯ

ꢮ

(

)

2

∂ꢔ

ꢯ

размерный коэффициент, изменяющийся во времени и в пространстве и

определяемый динамически [5] с использованием подхода, основанного на

итерационном методе поиска обобщенного решения переопределенной си-

стемы уравнений (см. [6]).

Система уравнений аппроксимирована по пространству схемой чет-

вертого порядка точности, сохраняющей импульс и энергию [23], для ап-

проксимации по времени используется явная схема Адамса – Бэшфорта

второго порядка точности. Более подробно численная модель, ее гранич-

ные условия и численные методы решения уравнений описаны в работах

[7, 8].

В целях правильной интерпретации представленных результатов нам

будет важно то, что данная модель проявляет свойства модели с явной

фильтрацией [21], а именно свойства модели с пространственным филь-

тром, ширина которого Δ превышает шаг сетки Δ_ꢫ. При этом дискретная

аппроксимация неидеального (подавляющего гармоники в разрешаемом

диапазоне волновых чисел) пространственного фильтра ꢖ_Δ^ꢫнам известна и

напрямую используется в подсеточной модели (10). Это позволяет строить

и анализировать спектры «дефильтрованной» скорости

ꢒ^∗= ꢖ⁻¹ꢒ_ꢡ,

(11)

ꢊ

ꢡ

где ꢖ⁻¹– оператор, являющийся приближением обратного оператора

ꢊ

фильтрации:

ꢲ

ꢊ

ꢖ⁻¹

=

_ꢲ=0�ꢱ − ꢖ_Δ^ꢫ� .

(12)

∑

ꢊ

Здесь ꢱ – единичный оператор. В работах [10, 11] было показано, что

применение данной процедуры к результатам расчетов позволяет улуч-

шить воспроизведение спектров ТКЭ и отдельных компонент скорости в

инерционном интервале. Кроме того, процедура «дефильтрации» успешно

использовалась для того, чтобы восполнить мелкомасштабную изменчи-

вость при лагранжевом переносе частиц в турбулентных течениях, см.

[7; 13]. На основании этого все спектры, представленные ниже, будут вы-

числены по мгновенным значениям скорости ꢒ_ꢡ^∗, полученной после приме-

нения «дефильтрации» (11) с количеством членов ряда (12) ꢩ = 7.

Глазунов А.В., Мортиков Е.В., Дебольский А.В.

65

3. Постановка численных экспериментов и некоторые основные

характеристики течения

Постановка численных экспериментов в основном совпадала с описан-

ной в работе [8], за исключением того, что была изменена конфигурация

объектов и рассматривались только нейтрально-стратифицированные те-

чения. Размер всей расчетной области составлял: ꢳ_ꢔ× ꢳ_ꢕ× ꢳ_ꢙ= 16ℎ ×

8ℎ × 4ℎ, а равносторонняя сетка модели состояла из 512 × 256 × 128

ячеек. Объекты, имитирующие здания, представляли собой кубы со сторо-

ной ℎ и прямоугольные параллелепипеды со сторонами ꢁ_ꢙ=, ꢁ_ꢔ= ꢁ_ꢕ= ℎ/2.

Граничные условия были периодическими по горизонтали, а на верхней и

нижней границах расчетной области и на стенках объектов задавалось

условие непротекания. На «стенках» и «крышах» зданий и на «поверхности

земли» вычислялось касательное напряжение трения, пропорциональное

квадрату пристеночной скорости: τ_ꢴ= −ꢬ_ꢞ^ꢴꢬ_ꢞ^ꢴꢵ_ꢴꢵ_ꢴ, со значением

ꢬ_ꢞ^ꢴ= 0.124, что при высоте ℎ = 16 м и шаге сетки модели Δ = ℎ/32 соот-

ветствует значению параметра шероховатости ꢂ_0ꢴ= 0.01 м в предположе-

нии логарифмичности пристеночного профиля средней скорости.

|

Течение поддерживалось постоянной силой ꢖ^ꢗꢔꢅ, что в установив-

шемся состоянии обеспечивало линейно убывающий с высотой поток им-

пульса над объектами со значением τ_ꢙ=ℎ= −ꢖ^ꢗꢔꢅꢳ_ꢙ− ℎ на высоте ꢂ = ℎ.

(

)

1/2

Скорость трения, определенную как ꢈ_∗= τ_ꢙ=ℎ

= �ꢖ^ꢗꢔꢅꢳ_ꢙ− ℎ �

,

|

(

)

мы будем использовать далее в качестве масштаба скорости для обезраз-

меривания результатов расчетов, а высоту объектов ℎ – как масштаб

длины. Расчеты проводились на срок в 120 единиц безразмерного времени

̃

(

)

ꢣ = ꢣ/ ℎ/ꢈ_∗, последние 40 единиц времени ꢣ использовались для осредне-

ния и вычисления спектров.

Объекты располагались на поверхности в шахматном порядке. Было

проведено четыре расчета EXP1, EXP2, EXP3 и EXP4 при различной мор-

фологии ПГТ (см. таблицу, в которой указаны значения некоторых геомет-

рических характеристик поверхностей). Схематические изображения по-

верхностей приводятся на врезках рис. 3.

Таблица. Морфологические параметры ПГТ в расчетах с вихреразрешающей

моделью.

Table. Morphological parameters of urban-type surfaces in LES experiments

λ_ꢊ

λ_ꢇ

ꢁ_ꢔ/ℎ

ꢁ_ꢕ/ℎ

EXP1

EXP2

EXP3

EXP4

1/8

1/16

1/8

1/4

1/16

1/8

1/2

1

1/2

1

1/2

1

1/2

1

1/8

66

Гидрометеорологические прогнозы, математическое моделирование

( )

средней скорости ꢈ ꢂ =

На рис. 1а представлены профили

< ꢒ₁>_ꢔ,ꢕ,ꢅ, а на рис. 1б (сплошные кривые) – суммарные потоки импульса

τ_ꢅ= τ^ꢶꢛꢐ+ τ^ꢦꢧꢨ. Здесь, τ^ꢶꢛꢐ= < ꢒ^′ꢓ^′>_ꢔ,ꢕ,ꢅ– перенос импульса разрешае-

′

мыми явно флуктуациями скорости ꢒ_ꢡ= < ꢒ_ꢡ>_ꢔ,ꢕ,ꢅ− ꢒ_ꢡ, а τ^ꢦꢧꢨ= <

ꢦꢧꢨ

13

τ

>

– поток, вычисленный в подфильтровой/подсеточной модели

ꢔ,ꢕ,ꢅ

(10). Видно, что поток импульса в свободной от объектов части расчетной

области (при ꢂ > ℎ) совпадает для всех четырех расчетов, линейно зависит

от высоты и совпадает с заданной внешним форсингом зависимостью

(красная пунктирная линия). Таким образом, моделируемые турбулентные

течения находятся в установившемся состоянии.

Отметим, что значимая часть суммарного потока внутри слоя 0 < ꢂ <

ℎ обеспечивается стационарной во времени компонентой течения ꢒ� =

ꢷ

< ꢒ_ꢡ>_ꢅ. Потоки τ� = < ꢒ�ꢓ� >_ꢔ,ꢕнанесены на рис. 1 пунктирными линиями.

Так как далее мы будем строить спектры и коспектры только флуктуаци-

онной (нестационарной во времени) части решения ꢒ^′= ꢒ_ꢡ− ꢒ�, то для

ꢷ

ꢡ

корректности сравнений, помимо масштаба ꢁ_ꢋꢌ(1), будет вычислен анало-

гичный масштаб

′

′ 1/2

ꢏꢈ/ꢏꢂ ⁻¹; τ^′= τ_ꢅ− τ�,

(13)

( ) | |

ꢁ_ꢋꢌꢂ = τ

|

т. е. масштаб Прандтля для нестационарной части решения.

( )

Рис. 1. Профили нормированной средней скорости ветра ꢈ/ꢈ_∗а ,. нормиро-

ванные средние потоки импульса (сплошные кривые) (б). Пунктирные линии

– часть потока импульса, связанная с его переносом стационарными вих-

рями. Цвета линий соответствуют разным конфигурациям ПГТ.

Fig. 1. Profiles of normalized mean wind speed ꢈ/ꢈ (a) , normalized profiles of

momentum flux (solid lines) (б). Dashed lines – part of vertical momentum transfer

associated with stationary vortices. Colors correspond to different configurations of

urban surfaces.

Глазунов А.В., Мортиков Е.В., Дебольский А.В.

67

4. Метод вычисления пространственных спектров внутри

городского слоя

Внутри слоя 0 < ꢂ < ℎ пространственные спектры нельзя построить

стандартным образом при помощи преобразования Фурье мгновенных по-

лей значений скорости, так как внутри «зданий» скорость не определена.

Согласно нашему опыту (не приводится в статье), грубый прием с обнуле-

нием аномалий скорости внутри объектов приводит к искажению мелко-

масштабного инерционного интервала и появлению значительного мини-

мума в спектрах на масштабах, близких к размеру объектов. Здесь мы

предлагаем простой метод вычисления аналога пространственных спек-

тров, дающий интерпретируемые результаты, согласующиеся с теоретиче-

скими представлениями об энергетическом каскаде в трехмерной турбу-

лентности. Расчет этих спектров на некоторой высоте ꢂ_ꢲ(где ꢸ –

модельный уровень, находящийся внутри слоя с объектами) выполнялся с

применением гипотезы Тейлора «замороженной турбулентности» по сле-

дующему алгоритму:

• Дискретные поля значений вектора скорости ꢵ^∗_ꢡ,ꢤ,ꢲсохранялись в те-

чение всего расчета с малым шагом по времени Δꢣ_ꢛ. Здесь ꢒ^∗– дефильтро-

ванная скорость (11). Поскольку в данной модели используется разнесен-

ная пространственная сетка, то предварительно компоненты скорости ꢒ^∗,

ꢹ^∗и ꢓ^∗интерполировались с четвертым порядком точности на общую

сетку в центры ячеек. В данной работе для экономии дискового простран-

ства и для того, чтобы сократить время записи данных, поля скорости со-

хранялись на разреженной пространственной сетке с шагами, вдвое превы-

шающими шаг сетки модели Δ_ꢫ. Интервал выдачи данных был равен

десяти шагам модели по времени. В пересчете в безразмерные единицы

�

времени это составляло: Δꢣ_ꢛ= Δꢣ_ꢛꢈ_∗/ℎ ≈ 0.005.

• Вектор мгновенной скорости проектировался на локальное направ-

�

ление осредненного по времени течения ꢵ = < ꢵ >_ꢅ. Таким образом, в

каждом из узлов диагностической сетки строились временные ряды про-

дольной скорости ꢒ_||и ортогонального дополнения к ней ꢒ_⊥:

∗

(

) |

|

ꢵ_||= ꢵ , < ꢵ >_t/ < ꢵ >_t,

(14)

(15)

∗

(

)

|

ꢵ_⊥≡ ꢒ_⊥, ꢹ_⊥, ꢓ_⊥= ꢵ − ꢵ_||< ꢵ >_ꢅ/ < ꢵ >_ꢅ.

• Для того, чтобы избежать сильного искажения мелкомасштабного

участка спектров вследствие переноса мелкомасштабной турбулентности

крупными вихрями (так называемый «sweeping effect», см. [14; 20]), мы

ограничили выборку только теми узлами сетки, в которых выполняется

условие: �< ꢵ_||>_ꢅ� > 2σ_ꢭ, где ꢺ_ꢭ– CKO продольной скорости. Данное

||

условие было подобрано эмпирически в предварительных тестах и со-

гласно нашему предыдущему опыту применения гипотезы Тейлора для

68

Гидрометеорологические прогнозы, математическое моделирование

вычисления пространственных спектров в LES. Для более точного вычис-

ления спектров потребуется коррекция с учетом энергии крупномасштаб-

ных мод, которая в данной работе не применялась и требует специального

рассмотрения. Таким образом был получен набор временных рядов значе-

ний скорости в ꢻ_ꢛꢗꢐузлах сетки. В представленных расчетах оказалось, что

выборка ꢻ_ꢛꢗꢐсодержала около половины узлов пространственной сетки, на

которой сохранялись данные.

• Для каждого из полученных временных рядов выполнялось дискрет-

ное преобразование Фурье и вычислялись спектральные плотности диспер-

сий компонент скорости ꢒ_||, ꢒ_⊥, ꢹ_⊥и ꢓ_⊥в зависимости от частоты ꢼ, а за-

тем частотные спектры преобразовывались в пространственные согласно

гипотезе Тейлора, где в качестве переносящей скорости использовалась ло-

кальная средняя скорость течения:

�< ꢵ^ꢡ_||>_ꢅ�

ꢃ_ꢭ^ꢡ�ꢸ_|^ꢡ_|� =

ꢃ_ꢭ^ꢡꢼ ;

( )

||

2ꢽ

ꢸ_|^ꢡ_|= 2ꢽꢼ/�< ꢵ_|^ꢡ_|>_ꢅ�,

ꢾ = 1, ꢻ_ꢛꢗꢐ

.

(16)

Аналогичным образом вычислялись наборы пространственных спек-

тров ꢃ_ꢭ^ꢡ�ꢸ_|^ꢡ_|�, ꢃ_ꢿ^ꢡ�ꢸ_|^ꢡ_|� и ꢃ_ꢴ^ꢡ�ꢸ_|^ꢡ_|�.

⊥

• Так как переносящая скорость < ꢵ^ꢡ_||>_ꢅзависит от положения в про-

странстве, то в результате преобразования (16) дискретные спектры оказы-

ваются заданными на разных сетках волновых чисел. Поэтому вначале мы

интерполировали их на общую сетку, а затем осредняли по всей выборке.

В результате были получены следующие функции, отражающие некото-

рую среднюю по всему пространству зависимость энергии флуктуаций от

их масштабов:

ꣀ

ꣁꣂꣃ

1

ꢃ_ꢭ�ꢸ_||� =

� ꢃ_ꢭ^ꢡ�ꢸ_||�,

||

ꢻ_ꢛꢗꢐ

ꢡ=1

1

ꣀ

ꢡ=1

^ꣁꣂꣃ�ꢃ_ꢭ^ꢡ�ꢸ_||� + ꢃ_ꢿ^ꢡ�ꢸ_||� + ꢃ_ꢴ^ꢡ�ꢸ_||��,

(17)

∑

ꢃ_ꢵ�ꢸ_||� =

⊥

ꣀ

ꣁꣂꣃ

1

ꢃ_ꢧ�ꢸ_||� = �ꢃ_ꢭ�ꢸ_||� + ꢃ_ꢭ�ꢸ_||��,

||

⊥

2

где ꢃ_ꢵ�ꢸ_||� – суммарная спектральная плотность дисперсии двух компо-

⊥

нент скорости, ортогональных к средней скорости течения < ꢵ >_ꢅ(в ло-

кальной системе координат, в которой одна ось направлена вдоль среднего

течения), а ꢃ_ꢧ�ꢸ_||� – аналог пространственного спектра турбулентной ки-

нетической энергии.

Описанный алгоритм удобен тем, что помимо спектра энергии ꢃ_ꢧ

вычисляются спектры продольной и ортогональных ей компонент скоро-

сти. Это позволяет оценить границу интервала изотропизации и количе-

ственно сравнить моделируемые спектры с теорией локально изотропной

и однородной турбулентности Колмогорова, согласно которой спектр

Глазунов А.В., Мортиков Е.В., Дебольский А.В.

69

флуктуаций продольной компоненты скорости в инерционном интервале

следует зависимости:

ꢃ_ꢭ�ꢸ_||� = ꢬ₁ε^2/3ꢸ_|⁻_|^5/3

,

(18)

||

где ꢬ₁≈ 0.53 – постоянная Колмогорова для одномерного спектра про-

дольной скорости (значение ꢬ₁выбрано согласно работе [36]). Для спек-

тров суммарной дисперсии ортогональных компонент и спектра полной

энергии должны выполняться законы (см. [1]):

ꢃ_ꢵ�ꢸ_||� = 2 ⁴₃ꢬ₁ε^2/3ꢸ_|⁻_|^5/3

,

(19)

(20)

⊥

11

2ꢃ_ꢧ�ꢸ_||� = ꢬ₁ε^2/3ꢸ_|⁻_|^5/3

.

3

5. Результаты расчетов

5.1. Турбулентные масштабы и их вариации при изменениях

морфологии ПГТ

На рис. 2а представлены турбулентные масштабы Прандтля ꢁ_ꢋꢌ(1) и

ꢁ^′_ꢋꢌ(13), а на рис. 2б – турбулентные масштабы ꢁ_ꢋε(5) и ꢁ_ꢋꢠ(7), необходи-

мые для ꢜ − ꢁ моделей турбулентности. Константы ꢍ_ε= 0.12 и ꢍ_ꢠ= 0.5

были выбраны таким образом, чтобы приблизительно совместить все мас-

штабы при ꢂ > ℎ и приравнять их к масштабу ꢁ_ꢋꢌ. Значения констант сле-

дуют из предположений о локальном балансе диссипации и сдвиговой ге-

нерации ТКЭ над объектами и о том, что значение безразмерной TKЭ

ꢟ/ꢈ_∗²≈ 4 в слое, где средняя скорость имеет профиль, близкий к логариф-

мическому.

Отметим следующие особенности вариаций масштабов внутри слоя с

объектами при изменениях морфологии ПГТ:

• Все масштабы, помимо значений морфологических параметров λ_ꢊи

λ_ꢇ, приведенных в таблице, сильно зависят от формы объектов.

• Все масштабы ꢁ_ꢋꢌ, ꢁ′_ꢋꢌи ꢁ_ꢋꢠ, связанные с переносом импульса, хотя

и отличаются по абсолютной величине, но ведут себя подобным образом,

увеличиваясь при более плотном заполнении поверхности объектами (см.

оранжевые и зеленые кривые или коричневые и синие кривые в сравнении

друг с другом).

• Турбулентный масштаб ꢁ_ꢋε, связывающий турбулентную энергию и

скорость ее диссипации, слабо зависит от значений λ_ꢊи λ_ꢇ, но оказывается

зависимым от горизонтального размера объектов (см. рис. 2б). Для объек-

тов, имеющих меньший горизонтальный размер (EXP1 и EXP3; зеленая и

оранжевая кривые на рис. 2б) масштаб ꢁ_ꢋεприблизительно вдвое меньше,

чем этот масштаб для крупных объектов (EXP2 и EXP4; коричневая и си-

няя кривые).

70

Гидрометеорологические прогнозы, математическое моделирование

Рис. 2. Турбулентные масштабы длины ꢁ_ꢋꢌ(1) и ꢁ^′_ꢋꢌ(13) (а); турбулентные

масштабы ꢁ_ꢋε(5) и ꢁ_ꢋꢠ(7) (б). Цвета линий соответствуют разным конфигура-

циям ПГТ.

Fig. 2. Profiles of turbulent length scales ꢁ_ꢋꢌ(1) and ꢁ^′_ꢋꢌ(13) (a); profiles of turbulent

length scales ꢁ_ꢋ꣄(5) and ꢁ_ꢋꢠ(7) (б). Colors correspond to different configurations

of urban surfaces.

Таким образом, мы имеем разную зависимость различных турбулент-

ных масштабов длины от морфологии, что может свидетельствовать о том,

что наборы определяющих параметров λ_ꢡдля их параметрического вычис-

ления не совпадают между собой. Более того, уменьшение масштабов ꢁ_ꢋꢌ

,

ꢁ′_ꢋꢌи ꢁ_ꢋꢠпри увеличении расстояний между объектами трудно объяснить

из соображений размерности, так как геометрические размеры и турбу-

лентные масштабы длины демонстрируют противоположные тенденции. В

следующем разделе мы попытаемся связать наблюдаемые вариации турбу-

лентных масштабов со спектрами турбулентности.

5.2. Пространственные спектры флуктуаций скорости

На рис. 3 изображены предумноженные нормированные спектры дис-

персии продольной компоненты скорости ꢸ_||ꢃ_ꢭ�ꢸ_||� (синие кривые), сум-

||

марной дисперсии ортогональных компонент ꢸ_||ꢃ_ꢵ�ꢸ_||� (зеленые кривые)

⊥

и полной кинетической энергии нестационарных флуктуаций скорости

ꢸ_||ꢃ_ꢧ�ꢸ_||� (черные кривые). Схематически показаны конфигурации ПГТ,

соответствующие каждому из расчетов. Красными пунктирными кривыми

проведены ожидаемые теоретические зависимости (18), (19) и (20) в инер-

ционном интервале турбулентности. Спектры построены для высоты ꢂ =

ℎ/2 (красная пунктирная горизонтальная линия на рис. 2 с турбулентными

масштабами).

Глазунов А.В., Мортиков Е.В., Дебольский А.В.

71

Рис. 3. Предумноженные нормированные спектры ꢸ_||ꢃ_ꢭ�ꢸ_||�/ꢈ_∗²(синие кри-

||

вые), ꢸ_||ꢃ_ꢵ�ꢸ_||�/ꢈ_∗²(зеленые кривые) и ꢸ_||ꢃ_ꢧ�ꢸ_||�/ꢈ_∗²(черные кривые); серыми

⊥

пунктирными вертикальными линиями указано примерное положение макси-

мумов в спектре продольной скорости ꢃ_ꢭ; красные пунктирные кривые (1), (2)

||

и (3) вычислены по формулам (18), (19) и (20) соответственно; на врезках

изображены конфигурации ПГТ в каждом из расчетов (вид сверху).

Fig. 3. Premultiplied normalized spectra ꢸ_||ꢃ_ꢭ�ꢸ_||�/ꢈ_∗²(blue), ꢸ_||ꢃ_ꢵ�ꢸ_||�/ꢈ_∗²

||

⊥

(green) and ꢸ_||ꢃ_ꢧ�ꢸ_||�/ꢈ_∗²(black); grey dashed lines denote approximate location

of maximum in stream-wise velocity component spectra ꢃ_ꢭ; red dashed lines (1),

||

(2) and (3) are calculated according to eqs. (18), (19) and (20) correspondingly;

urban surface configurations are depicted in inserts (top view).

Можно отметить следующие характерные особенности построенных

спектральных распределений:

• Основная накачка энергии происходит в продольную компоненту ꢒ_||

на масштабах, сравнимых с размерами объектов ꢸ_||ℎ ∼ 1. На этом мас-

штабе отчетливо выделяются максимумы в спектрах ꢃ_ꢭ.

||

• Изотропизация происходит при значениях волновых чисел ꢸ_||ℎ >

10, где вычисленные по данным модели спектры попадают на теоретиче-

ские кривые, обозначенные красным пунктиром. В интервале волновых чи-

сел 1 < ꢸ_||ℎ < 10 происходит перераспределение энергии между компо-

нентами скорости так, что анизотропия течения уменьшается, а энергия

72

Гидрометеорологические прогнозы, математическое моделирование

продольной компоненты падает с увеличением волнового числа быстрее,

чем ꢸ⁻¹

.

• Положения максимумов в спектрах продольной компоненты скоро-

сти ꢃ_ꢭсовпадают для поверхностей с одинаковыми по горизонтальному

||

размеру объектами и не зависят от расстояний между объектами. Для по-

верхностей с более крупными объектами (рисунки справа) эти максимумы

смещены в область малых волновых чисел по сравнению с максимумами

спектров, построенных по результатам расчетов с маленькими объектами

(рисунки слева). Таким образом, можно предположить, что горизонталь-

ный размер объектов «зданий» является одним из определяющих морфо-

логических параметров, влияющих на протяженность спектрального рас-

пределения и, тем самым, на суммарную ТКЭ, что и приводит к

увеличению диссипативного масштаба длины ꢁ_ꢋεв расчетах с крупными

объектами.

• Увеличение расстояний между объектами приводит к тому (см. раз-

личия между нижним и верхним рядом рисунков на рис. 3), что выделен-

ный максимум в спектре продольной компоненты уменьшается, а энергия

в целом смещается в сторону более мелких масштабов. Возможно, это свя-

зано с тем, что крупные организованные структуры, возникающие при об-

текании объектов и проявляющиеся в спектрах как выделенные макси-

мумы, эффективно разрушаются при их переносе

в

свободных

пространствах между объектами. Смещение спектров скорости в сторону

больших волновых чисел для поверхностей с малыми значениями λ_ꢊ,

по-видимому, приводит к тому, что в среднем импульс переносится более

мелкими вихрями. Это, в свою очередь, отражается в уменьшении связан-

ных с эффективностью переноса импульса турбулентных масштабов ꢁ_ꢋꢌ

,

ꢁ^′_ꢋꢌи ꢁ_ꢋꢠ, вычисленных формально по интегральным характеристикам

(см. рис. 2).

Заключение

В данной работе представлены результаты расчетов турбулентных те-

чений над идеализированными поверхностями городского типа, выполнен-

ные при помощи вихреразрешающей модели высокого пространственного

разрешения. Расчеты проводились с целью выявления закономерностей по-

ведения турбулентных масштабов длины внутри «городского слоя» в зави-

симости от морфологических параметров ПГТ. Эти масштабы требуются

для построения локально-одномерных многослойных моделей турбулент-

ности в городской среде. Был предложен алгоритм вычисления аналогов

пространственных спектров кинетической энергии флуктуаций скорости,

основанный на гипотезе «замороженной турбулентности» Тейлора. Пока-

зано, что вычисленные по данным модели спектры качественно и количе-

ственно согласуются с теоретическими зависимостями в инерционном ин-

тервале турбулентности.

Глазунов А.В., Мортиков Е.В., Дебольский А.В.

73

Показано, что изменения в пространственных спектрах, связанные с

изменениями морфологии поверхности городского типа, отражают соот-

ветствующие вариации турбулентных масштабов длины. В частности, мы

обнаружили, что горизонтальные размеры объектов («зданий») опреде-

ляют протяженность спектрального распределения и положение максиму-

мов в спектре продольной скорости. Это объясняет увеличение «диссипа-

тивного» масштаба длины ꢁ_ꢋεпри увеличении размеров «зданий». В свою

очередь, увеличение ꢁ_ꢋεявляется индикатором менее эффективной внут-

ренней диссипации ТКЭ, что на практике будет приводить к более высоким

ее значениям внутри городской среды, а следовательно, в том числе и к

улучшению вентиляции городской среды. Следует заметить, что описан-

ные тенденции получены для идеализированных ПГТ с большими рассто-

яниями между объектами по сравнению с их горизонтальными размерами.

Для более "плотной" городской среды, а также для реалистичных морфо-

логий городского слоя, наряду с размером "зданий", форма спектральных

распределений, по-видимому, будет определяться еще и характерными раз-

мерами и ориентацией свободных пространств.

Обнаружено, что при очень разреженной морфологии городской за-

стройки (при малых значениях λ_ꢊ) пространственный спектр энергии тур-

булентных флуктуаций смещается в область малых масштабов, что объяс-

няет уменьшение турбулентного масштаба Прандтля, то есть ослабление

эффективности переноса импульса по вертикали.

Для установления количественных связей между спектрами и масшта-

бами и разработки методов выделения групп морфологических парамет-

ров, ответственных за те или иные характеристики турбулентности в го-

родской среде, потребуется гораздо больший набор численных

экспериментов с LES-моделями, чем серия расчетов, представленная в

настоящей работе. Помимо расчетов с упрощенными идеализированными

ПГТ, необходимо моделирование турбулентности в городской среде с реа-

листичным представлением застройки и/или с искусственно-сгенерирован-

ной случайной геометрией, удовлетворяющей набору морфологических

признаков. Мы полагаем, что представленный метод спектрального ана-

лиза данных моделирования может применяться и для исследования более

сложных турбулентных течений. Кроме того, аналогичный подход приме-

ним к спектральному анализу данных натурных пульсационных измерений

в городе, где определение пространственных масштабов турбулентности

затруднено вследствие фрагментарности данных и большой простран-

ственной изменчивости среднего течения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного

фонда, грант 21-71-30023; разработка численной модели (раздел 2)

выполнялась при частичной поддержке Московского центра фундамен-

тальной и прикладной математики (Соглашение с Министерством науки и

высшего образования Российской Федерации №075-15-2022-286).

74

Гидрометеорологические прогнозы, математическое моделирование

Список литературы

1. Монин А.С,. Яглом А.М. Статистическая гидромеханика: теория турбулентности //

М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. 695 c.

2. Blunn L.P., Coceal O., Nazarian N., Barlow J.F., Plant R.S., Bohnenstengel S.I., Lean

H.W. Turbulence characteristics across a range of idealized urban canopy geometries // Boundary-

Layer Meteorology. 2022. Vol. 182, no. 2. С. 275-307.

3. Cheng W.-C., Porté-Agel F. A simple mixing-length model for urban canopy flows //

Boundary-Layer Meteorology. 2021. Vol. 181, no. 015. P. 1-9. DOI: 10/1007/

s10546-021-00650-0

4. Coceal O., Thomas T.G., Castro I.P., Belcher S.E. Mean flow and turbulence statistics

over groups of urban-like cubical obstacles // Boundary-Layer Meteorology. 2006. Vol. 121, no. 3.

P. 491-519.

5. Germano M., Piomelli U., Moin P., Cabot W.H. A dynamic subgrid-scale eddy viscosity

model // Physics of Fluids A: Fluid Dynamics. 1991. Vol. 3, no. 7. P. 1760-1765.

6. Ghosal S., Lund T., Moin P., Akselvoll K. A dynamic localization model for large-eddy

simulation of turbulent flows // Journal of Fluid Mechanics. 1995. Vol. 286. P. 229-255.

7. Glazunov A., Rannik Ü., Stepanenko V., Lykosov V., Auvinen M., Vesala T., Mammarella

I. Large-eddy simulation and stochastic modeling of Lagrangian particles for footprint determina-

tion in the stable boundary layer // Geoscientific Model Development. 2016. Vol. 9, no. 9. P. 2925-

2949.

8. Glazunov A., Mortikov E., Debolskiy A. Studies of stable stratification effect on dynamic

and thermal roughness lengths of urban-type canopy using large-eddy simulation // Journal of the

Atmospheric Sciences. 2023. Vol. 80, no. 1. P. 31-48.

9. Glazunov A.V., Debolskiy A.V., Mortikov E.V. Turbulent length scale for multilayer RANS

model of urban canopy and its evaluation based on large-eddy simulations // Supercomputing Fron-

tiers and Innovations. 2022. Vol. 8, no. 4. P. 100-116.

10. Glazunov A.V. Large-eddy simulation of turbulence with the use of a mixed dynamic

localized closure: Part 2. Numerical experiments: Simulating turbulence in a channel with rough

boundaries // Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. 2009. Vol. 45, no. 1. P. 25-36.

11. Glazunov A.V. Numerical simulation of stably stratified turbulent flows over an urban

surface: Spectra and scales and parameterization of temperature and wind-velocity profiles //

Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. 2014. Vol. 50, no. 4. P. 356-368.

12. Glazunov A.V. Numerical simulation of stably stratified turbulent flows over flat and

urban surfaces // Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. 2014. Vol. 50, no. 3. P. 236-245.

13. Glazunov A.V. Numerical simulation of turbulence and transport of fine particulate im-

purities in street canyons // Numerical methods and programming. 2018. Vol. 19. P. 17-37.

14. Kraichnan R.H. Kolmogorov’s hypotheses and Eulerian turbulence theory // The Physics

of Fluids. 1964. Vol. 7, no. 11. P. 1723-1734.

15. Krayenhoff E.S., Jiang T., Christen A. A multi-layer urban canopy meteorological model

with trees (BEP-Tree): Street tree impacts on pedestrian-level climate // Urban Climate. 2020.

Vol. 32. P. 100590.

16. Li Q., Katul G. Bridging the urban canopy sublayer to aerodynamic parameters of the

atmospheric surface layer // Boundary-Layer Meteorology. 2022. Vol. 185, no. 1. P. 35-61.

17. Lu J., Nazarian N., Hart M.A., Krayenhoff E.S., Martilli A. A one-dimensional urban

flow model with an eddy-diffusivity mass-flux (EDMF) scheme and refined turbulent transport

(MLUCM v3.0) // Geoscientific Model Development. 2024. Vol. 17, no. 7. P. 2525-2545.

18. Lu J., Nazarian N., Hart M.A., Krayenhoff E.S., Martilli A. Novel geometric parameters

for assessing flow over realistic versus idealized urban arrays // Journal of Advances in Modeling

Earth Systems. 2023. Vol. 15, no. 7. P. e2022MS003287.

19. Lu J., Nazarian N., Hart M.A., Krayenhoff E.S., Martilli A. Representing the effects of

building height variability on urban canopy flow // Quarterly Journal of the Royal Meteorological

Society. 2024. Vol. 150, no. 758. P. 46-67.

20. Lumley, J. Interpretation of time spectra measured in high-intensity shear flows // The

physics of fluids. 1965. Vol. 8, no. 6. P. 1056-1062.

Глазунов А.В., Мортиков Е.В., Дебольский А.В.

75

21. Lund, T.S. The use of explicit filters in large eddy simulation // Computers & Mathemat-

ics with Applications. 2003. Vol. 46, no. 4. P. 603-616.

22. Mellor, G.L., T. Yamada. A hierarchy of turbulence closure models for planetary bound-

ary layers // Journal of Atmospheric Sciences. 1974. Vol. 31, no. 7. P. 1791-1806.

23. Morinishi, Y., T.S. Lund, O.V. Vasilyev, P. Moin. Fully conservative higher order finite

difference schemes for incompressible flow // Journal of Computational Physics. 1998. Vol. 143,

no. 1. P. 90-124.

24. Mussetti, G., D. Brunner, S. Henne. COSMO-BEP-Tree v1.0: a coupled urban climate

model with explicit representation of street trees // Geoscientific Model Development. 2020.

Vol. 13, no. 3. P. 1685-1710.

25. Nagel, T., R. Schoetter, V. Bourgin, V. Masson, E. Onofri. Drag coefficient and turbu-

lence mixing length of local climate zone-based urban morphologies derived using obstacle-re-

solving modelling // Boundary-Layer Meteorology. 2023. Vol. 186. P. 737-769.

26. Nazarian, N., E.S. Krayenhoff, A. Martilli. A one-dimensional model of turbulent flow

through “urban” canopies (MLUCM v2.0): updates based on large-eddy simulation // Geoscientific

Model Development. 2020. Vol. 13, no. 3. P. 937-953.

27. Ribeiro, I., A. Martilli, M. Falls, A. Zonato, G. Villalba. Highly resolved WRF-

BEP/BEM simulations over Barcelona urban area with LCZ // Atmospheric Research. 2021.

Vol. 248. P. 105220.

28. Sagaut P., Lee Y.-T. Large eddy simulation for incompressible flows: An introduction.

Scientific computation series // Applied Mechanics Reviews. 2002. Vol. 55. P. 115-.

29. Schmid M., Lawrence G., Parlange M., Giometto M. Volume averaging for urban cano-

pies // Boundary-Layer Meteorology. 2019. Vol. 173, no. 1. P. 349-372.

30. Schoetter R., Kwok Y.T., de Munck C., Lau K.K.L., Wong W.K., Masson V. Multi-layer

coupling between SURFEX-TEB-v9.0 and Meso-NH-v5.3 for modelling the urban climate of

high-rise cities // Geoscientific Model Development. 2020. Vol. 13, no. 11. P. 5609-5643.

31. Stewart I.D., Oke T.R. Local climate zones for urban temperature studies // Bulletin of

the American Meteorological Society. 2012. Vol. 93, no. 12. P. 1879-1900.

32. Tarasova M., Debolskiy A., Mortikov E., Varentsov M., Glazunov A., Stepanenko V. On

the parameterization of the mean wind profile for urban canopy models // Lobachevskii Journal of

Mathematics. 2024. Vol. 45, no. 7. P. 3198-3210.

33. Wang W. An analytical model for mean wind profiles in sparse canopies // Boundary-

Layer Meteorology. – 2011. Vol. 142. P. 383-399.

34. Wang W. Analytically modelling mean wind and stress profiles in canopies // Boundary-

Layer Meteorology. 2014. Vol. 151. P. 239-256.

35. Xie Z.-T., Coceal O., Castro I. Large-eddy simulation of flows over random urban-like

obstacles // Boundary-Layer Meteorology. 2008. Vol. 129. P. 1-23.

36. Yeung P.K., Zhou Y. Universality of the Kolmogorov constant in numerical simulations

of turbulence // Physical Review E: Statistical Physics, Plasmas, Fluids and Related Interdiscipli-

nary Topics. 1997. Vol. 56, no. 2. P. 1746-1752.

References

1. Monin, A. S., Yaglom A. M. Statistichecskaya gydromekhanika: teoria turbulentnosti [Sta-

tistical Hydromechanics: turbulence theory] Moscow, Nauka, Gl. red. fiz.-mat. lit., 1992, 695 p.

2. Blunn L.P., Coceal O., Nazarian N., Barlow J.F., Plant R.S., Bohnenstengel S.I., Lean

H.W. Turbulence characteristics across a range of idealized urban canopy geometries. Boundary-

Layer Meteorology, 2022, vol. 182, no. 2, pp. 275-307.

3. Cheng W.-C., Porté-Agel F. A simple mixing-length model for urban canopy flows.

Boundary-Layer Meteorology, 2021, vol. 181, no. 015, pp. 1-9. DOI: 10/1007/

s10546-021-00650-0.

4. Coceal O., Thomas T.G., Castro I.P., Belcher S.E. Mean flow and turbulence statistics

over groups of urban-like cubical obstacles. Boundary-Layer Meteorology, 2006, vol. 121, no. 3,

pp. 491-519.

76

Гидрометеорологические прогнозы, математическое моделирование

5. Germano M., Piomelli U., Moin P., Cabot W.H. A dynamic subgrid-scale eddy viscosity

model. Physics of Fluids A: Fluid Dynamics, 1991, vol. 3, no. 7, pp. 1760-1765.

6. Ghosal S., Lund T., Moin P., Akselvoll K. A dynamic localization model for large-eddy

simulation of turbulent flows. Journal of Fluid Mechanics, 1995, vol. 286, pp. 229-255.

7. Glazunov A., Rannik Ü., Stepanenko V., Lykosov V., Auvinen M., Vesala T., Mammarella

I. Large-eddy simulation and stochastic modeling of Lagrangian particles for footprint determina-

tion in the stable boundary layer. Geoscientific Model Development, 2016, vol. 9, no. 9, pp. 2925-

2949.

8. Glazunov A., Mortikov E., Debolskiy A. Studies of stable stratification effect on dynamic

and thermal roughness lengths of urban-type canopy using large-eddy simulation. Journal of the

Atmospheric Sciences, 2023, vol. 80, no. 1, pp. 31-48.

9. Glazunov A.V., Debolskiy A.V., Mortikov E.V. Turbulent length scale for multilayer RANS

model of urban canopy and its evaluation based on large-eddy simulations. Supercomputing Fron-

tiers and Innovations, 2022, vol. 8, no. 4, pp. 100-116.

10. Glazunov A.V. Large-eddy simulation of turbulence with the use of a mixed dynamic

localized closure: Part 2. Numerical experiments: Simulating turbulence in a channel with rough

boundaries. Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics, 2009, vol. 45, no. 1, pp. 25-36.

11. Glazunov A.V. Numerical simulation of stably stratified turbulent flows over an urban

surface: Spectra and scales and parameterization of temperature and wind-velocity profiles.

Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics., 2014, vol. 50, no. 4, pp. 356-368.

12. Glazunov A.V. Numerical simulation of stably stratified turbulent flows over flat and

urban surfaces. Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics, 2014, vol. 50, no. 3, pp. 236-245.

13. Glazunov A.V. Numerical simulation of turbulence and transport of fine particulate im-

purities in street canyons. Numerical methods and programming, 2018, vol. 19, pp. 17-37.

14. Kraichnan R.H. Kolmogorov’s hypotheses and Eulerian turbulence theory. The Physics

of Fluids, 1964, vol. 7, no. 11, pp. 1723-1734.

15. Krayenhoff E.S., Jiang T., Christen A. A multi-layer urban canopy meteorological model

with trees (BEP-Tree): Street tree impacts on pedestrian-level climate. Urban Climate, 2020,

vol. 32, pp. 100590.

16. Li Q., Katul G. Bridging the urban canopy sublayer to aerodynamic parameters of the

atmospheric surface layer. Boundary-Layer Meteorology, 2022, vol. 185, no. 1, pp. 35-61.

17. Lu J., Nazarian N., Hart M.A., Krayenhoff E.S., Martilli A. A one-dimensional urban

flow model with an eddy-diffusivity mass-flux (EDMF) scheme and refined turbulent transport

(MLUCM v3.0). Geoscientific Model Development, 2024, vol. 17, no. 7, pp. 2525-2545.

18. Lu J., Nazarian N., Hart M.A., Krayenhoff E.S., Martilli A. Novel geometric parameters

for assessing flow over realistic versus idealized urban arrays. Journal of Advances in Modeling

Earth Systems, 2023, vol. 15, no. 7, pp. e2022MS003287.

19. Lu J., Nazarian N., Hart M.A., Krayenhoff E.S., Martilli A. Representing the effects of

building height variability on urban canopy flow. Quarterly Journal of the Royal Meteorological

Society, 2024, vol. 150, no. 758, pp. 46-67.

20. Lumley, J. Interpretation of time spectra measured in high-intensity shear flows. The

physics of fluids, 1965, vol. 8, no. 6, pp. 1056-1062.

21. Lund, T.S. The use of explicit filters in large eddy simulation. Computers & Mathematics

with Applications, 2003, vol. 46, no. 4, pp. 603-616.

22. Mellor, G.L., T. Yamada. A hierarchy of turbulence closure models for planetary bound-

ary layers. Journal of Atmospheric Sciences, 1974, vol. 31, no. 7, pp. 1791-1806.

23. Morinishi, Y., T.S. Lund, O.V. Vasilyev, P. Moin. Fully conservative higher order finite

difference schemes for incompressible flow. Journal of Computational Physics, 1998, vol. 143,

no. 1, pp. 90-124.

24. Mussetti, G., D. Brunner, S. Henne. COSMO-BEP-Tree v1.0: a coupled urban climate

model with explicit representation of street trees. Geoscientific Model Development, 2020, vol. 13,

no. 3, pp. 1685-1710.

25. Nagel, T., R. Schoetter, V. Bourgin, V. Masson, E. Onofri. Drag coefficient and turbu-

lence mixing length of local climate zone-based urban morphologies derived using obstacle-re-

solving modelling. Boundary-Layer Meteorology, 2023, vol. 186, pp. 737-769.

Глазунов А.В., Мортиков Е.В., Дебольский А.В.

77

26. Nazarian, N., E.S. Krayenhoff, A. Martilli. A one-dimensional model of turbulent flow

through “urban” canopies (MLUCM v2.0): updates based on large-eddy simulation. Geoscientific

Model Development, 2020, vol. 13, no. 3, pp. 937-953.

27. Ribeiro, I., A. Martilli, M. Falls, A. Zonato, G. Villalba. Highly resolved WRF-

BEP/BEM simulations over Barcelona urban area with LCZ. Atmospheric Research, 2021,

vol. 248, pp. 105220.

28. Sagaut P., Lee Y.-T. Large eddy simulation for incompressible flows: An introduction.

Scientific computation series. Applied Mechanics Reviews, 2002, vol. 55,pp. 115.

29. Schmid M., Lawrence G., Parlange M., Giometto M. Volume averaging for urban cano-

pies. Boundary-Layer Meteorology, 2019, vol. 173, no. 1, pp. 349-372.

30. Schoetter R., Kwok Y.T., de Munck C., Lau K.K.L., Wong W.K., Masson V. Multi-layer

coupling between SURFEX-TEB-v9.0 and Meso-NH-v5.3 for modelling the urban climate of

high-rise cities. Geoscientific Model Development, 2020, vol. 13, no. 11, pp. 5609-5643.

31. Stewart I.D., Oke T.R. Local climate zones for urban temperature studies. Bulletin of the

American Meteorological Society, 2012, vol. 93, no. 12, pp. 1879-1900.

32. Tarasova M., Debolskiy A., Mortikov E., Varentsov M., Glazunov A., Stepanenko V. On

the parameterization of the mean wind profile for urban canopy models. Lobachevskii Journal of

Mathematics., 2024, vol. 45, no. 7, pp. 3198-3210.

33. Wang W. An analytical model for mean wind profiles in sparse canopies. Boundary-

Layer Meteorology, 2011, vol. 142, pp. 383-399.

34. Wang W. Analytically modelling mean wind and stress profiles in canopies. Boundary-

Layer Meteorology, 2014, vol. 151, pp. 239-256.

35. Xie Z.-T., Coceal O., Castro I. Large-eddy simulation of flows over random urban-like

obstacles. Boundary-Layer Meteorology, 2008, vol. 129, pp. 1-23.

36. Yeung P.K., Zhou Y. Universality of the Kolmogorov constant in numerical simulations

of turbulence. Physical Review E: Statistical Physics, Plasmas, Fluids and Related Interdiscipli-

nary Topics, 1997, vol. 56, no. 2, pp. 1746-1752.

Поступила 20.11.2024; одобрена после рецензирования 02.12.2024;

принята в печать 10.12.2024.

Submitted 20.11.2024; approved after reviewing 02.12.2024;

accepted for publication 10.12.2024.