Гидрометеорологические исследования и прогнозы. 2024. № 2 (392). С. 111-129

111

DOI: https://doi.org/10.37162/2618-9631-2024-2-111-129

УДК 556.06

Прогнозирование характеристик

половодья 2024 года

на реках Ишим, Тобол и Урал

С.В. Борщ, Ю.А. Симонов,

А.В. Христофоров, Н.М. Юмина

Гидрометеорологический научно-исследовательский центр

Российской Федерации, г. Москва, Россия

simonov@mecom.ru, khristoforov_a@mail.ru, yuminanm@mail.ru

В ФГБУ «Гидрометцентр России» разработаны методики прогнозирования ха-

рактеристик весеннего половодья, которые были реализованы для восьми створов

на реках Ишим, Тобол и Урал в 2024 году. Специфика методик состоит в простоте

их получения и реализации для конкретного участка реки и возможности быстрой

корректировки прогнозов по мере поступления текущей информации.

Максимальный уровень воды в прогнозируемом речном створе определялся по

его зависимости от максимального уровня воды в створе, расположенном выше по

течению. Дата прохождения пика половодья прогнозировалась с учетом даты про-

хождения пика в выше расположенном створе и вероятных значений времени его

добегания от верхнего створа до прогнозируемого нижнего. Дата снижения уровня

воды до отметки опасного явления прогнозировалась с учетом высоты и даты про-

хождения пика половодья с использованием расчетной кривой спада, полученной

путем статистического анализа спадов половодья, наблюдавшихся в прежние годы.

Дата снижения уровня воды до отметки неблагоприятного явления прогнозирова-

лась путем экстраполяции спада половодья, наблюдавшегося

в

течение

10–15 дней после прохождения пика половодья. Средняя заблаговременность про-

гнозов составляет 9 суток.

Прогнозы выпускались в детерминированной и вероятностной формах и дали

удовлетворительные результаты, которые были использованы при организации и

проведении мероприятий по защите населения и хозяйственных объектов от навод-

нений, наблюдавшихся в 2024 году. Эффективность разработанных методик позво-

ляет рекомендовать их для использования при прогнозировании характеристик по-

ловодья в различных регионах России.

Ключевые слова: характеристики половодья, речной створ, уровень воды, стати-

стический анализ, прогноз, детерминированная и вероятностная форма, защита от

наводнений.

Forecasting the characteristics

of the flood in 2024

on the Ishim, Tobol and Ural rivers

S.V. Borsch, Yu.A. Simonov,

A.V. Khristoforov, N.M. Yumina

Hydrometeorological Research Center of Russian Federation, Moscow, Russia

simonov@mecom.ru, khristoforov_a@mail.ru, yuminanm@mail.ru

112

Гидрологические прогнозы

The Hydrometeorological Center of Russia has developed a system of methods for

forecasting spring flood characteristics, which was implemented for eight stations on the

Ishim, Tobol, and Ural rivers in 2024. Specific features of the methods are the simplicity

of their obtaining and implementation for a particular river reach and a possibility of the

fast correction of forecasts as the current information is available.

The peak water level at the station was predicted based on its dependence on the peak

water level at the upstream station. The date of the flood peak was predicted with account

of the data of the peak at the upstream station and probable values of the travel time from

the upstream gauge to the predicted downstream one. The date of the water level drop to

the level of a severe event was forecasted taking into account the height and date of the

flood peak using the calculated recession curve obtained by the statistical analysis of flood

recessions in the previous years. The date of the water level drop to the level of an adverse

event was predicted by extrapolating the flood recession observed during 10–15 days after

the flood peak. The mean forecast lead time is 9 days.

The forecasts were issued in a deterministic and probabilistic form and gave quite sat-

isfactory results, which were used in the organization and implementation of measures to

protect the population and economic facilities from the floods observed in 2024. The effi-

ciency of the developed methods allows recommending them for use in predicting flood

characteristics in various regions of Russia.

Keywords: flood characteristics, river gauge, water level, statistical analysis, forecast,

deterministic and probabilistic form, flood protection

Введение

Среди задач, решаемых в рамках теории и практики гидрологических

прогнозов, особое место занимает прогнозирование высоких половодий и

паводков и предупреждение о вызываемых ими наводнениях. В условиях

роста частоты и интенсивности опасных гидрологических явлений совер-

шенствование таких прогнозов не только актуально, но и жизненно важно

для широкого круга потребителей прогностической продукции, так как по-

вышение их надежности и увеличение их заблаговременности в значитель-

ной степени определяет эффективность мероприятий по защите населения

и хозяйственных объектов [1, 10, 14, 17, 20].

Вопросы предупреждения об опасных природных явлениях, в том

числе о прохождении опасных паводков и наводнений на реках, находятся

в приоритете у национальных гидрометеорологических служб, а также раз-

личных международных организаций, включая Всемирную метеорологи-

ческую организацию [13, 18, 21, 22].

Для прогнозирования характеристик половодий и паводков современ-

ная гидрология располагает достаточно широким и постоянно совершен-

ствующимся арсеналом средств. Он включает различные концептуальные

и физико-математические модели формирования речного стока на водо-

сборе и трансформации волн половодий и паводков в русловой сети. В ка-

честве упрощенного варианта используются физико-статистические зави-

симости прогнозируемой величины от известных к дате составления

прогноза характеристик основных гидрометеорологических факторов, ее

определяющих [4, 6–8, 11, 12, 15, 19].

Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В., Юмина Н.М.

113

В условиях экстремально высоких половодий, которые в 2024 году

имели место на реках Ишим, Тобол и Урал, использование указанных ме-

тодов прогнозирования сталкивается с определенными трудностями, кото-

рые обусловлены следующими причинами.

на пойму и при ее последующем широком разливе

1. При выходе воды

на отдельных участках реки временно могут формироваться рукава и про-

токи с различными скоростями течения, а также участки со стоячей водой

[2, 5, 10, 16]. Такие участки реки временно представляют новый водный

объект, располагаемые данные наблюдений за которым могут оказаться не-

достаточными или вообще отсутствовать. В результате параметры схемы

получения прогноза, оценка которых выполнялась на основе гидрометео-

рологической информации за предыдущие годы, могут не соответствовать

условиям прогнозируемого экстремального половодья. А это может нега-

тивно сказаться на точности прогнозов [2, 10, 12].

2. Модели формирования речного стока на водосборе и трансформа-

ции волны половодья в русловой сети требуют достаточно надежной

информации о расходах воды. В то же время при широком разливе реки,

русловых трансформациях, формировании новых рукавов и протоков из-

мерение расходов воды или их определение путем экстраполяции зависи-

мости расходов от уровней воды представляют трудноразрешимые задачи

и не могут давать надежных результатов [1, 4, 7, 12, 17, 19].

3. Большинство располагаемых методов прогнозирования характери-

стик половодья пока мало приспособлены для достаточно быстрого и, сле-

довательно, минимально трудоемкого уточнения прогнозов по мере регу-

лярно поступающей информации об изменении уровня воды и площади

затопления речной поймы. Преодоление этого недостатка и эффективное

реагирование на поступающую информацию возможно на основе разра-

ботки, совершенствования и внедрения автоматизированных систем под-

готовки и выпуска прогнозов [4].

В ФГБУ «Гидрометцентр России» разработана система методик крат-

косрочного, среднесрочного и долгосрочного прогнозирования характери-

стик весеннего половодья, которая была реализована для рек Ишим, Тобол

и Урал в 2024 году. Методики основаны на статистическом анализе данных

наблюдений за уровнями воды в различных створах указанных рек.

Специфика разработанных методик состоит в простоте их получения

и реализации для конкретного участка реки и возможности быстрой кор-

ректировки прогнозов по мере поступления текущей информации. Полу-

ченные с их помощью прогнозы оказались вполне удовлетворительными и

были использованы при организации и проведении мероприятий по защите

населения и хозяйственных объектов от наводнений, наблюдавшихся в

2024 году в Оренбургской, Курганской и Тюменской областях. Изложению

этих методик и анализу полученных результатов и посвящена настоящая

статья.

114

Гидрологические прогнозы

1. Прогнозирование максимальных уровней воды в период

весеннего половодья

Максимальные уровни воды за период весеннего половодья 2024 года

прогнозировались для четырех створов на реке Ишим, двух створов на реке

Тобол и двух створов на реке Урал. Для получения прогнозов использова-

лись данные гидрологических наблюдений с 1985 по 2023 год.

Использован частный случай классического метода соответственных

уровней, предназначенного для прогнозирования трансформации волн по-

ловодий и паводков на участке реки с незначительным или синхронным

промежуточным притоком [12].

Максимальный уровень воды в нижнем створе

см определялся

H_max,H

в зависимости от уже наблюдавшегося максимального уровня воды в верх-

нем створе см. Индексы, названия верхних и нижних створов и рас-

H_max,B

стояния между ними помещены в табл. 1.

Таблица 1. Верхние и нижние створы на реках Ишим, Тобол и Урал

Table 1. Upper and lower gauges on the Ishim, Tobol and Ural rivers

Расстояние

147 км

Верхний створ

Нижний створ

11411

р. Ишим – с. Ильинка

11410

р. Ишим – г. Петропавловск

11411

р. Ишим – с. Ильинка

11412

р. Ишим – г. Ишим

11413

р. Ишим – пгт Абатский

12010

р. Тобол – с. Звериноголовское

12014

р. Тобол – г. Курган

19054

р. Урал – г. Орск

19063

р. Урал – г. Оренбург

11412

р. Ишим – г. Ишим

11413

р. Ишим – пгт Абатский

11414

р. Ишим – с. Викулово

12014

р. Тобол – г. Курган

168 км

142 км

135 км

194 км

278 км

430 км

209 км

12018

р. Тобол – г. Ялуторовск

19063

р. Урал – г. Оренбург

19070

р. Урал – с. Илек

Для получения зависимости уровня

от уровня

исполь-

H_max,B

H_max,H

зовались их фактические значения, наблюдавшиеся в течение указанного

выше многолетнего периода. Тесноту и степень линейности этой зависи-

мости характеризует коэффициент корреляции между величинами H_max,H

и

H

_max,B. Для всех речных участков он варьирует от 0,88 до 0,99. Однако в

отличие от обычных случаев применения метода соответственных уров-

ней, когда река не выходит за пределы своего русла, при высоких полово-

дьях на рассматриваемых реках зависимости между максимальными

Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В., Юмина Н.М.

115

уровнями воды в верхнем и нижнем створах оказались нелинейными с из-

менением выпуклости графика функции (рис. 1). Это обусловлено тем, что

при выходе воды на пойму и при ее последующем широком разливе харак-

тер зависимости уровня

от уровня

меняется. В связи с этим

H_max,B

H_max,H

было принято решение описывать такую зависимость с помощью поли-

нома третьей степени и получать прогноз по формуле:

~

2

3

.

(1)

H_max,H P (H_max,B)  a₀a₁H_max,Ba₂H_max,Ba₃H_max,B

3

Выбор полинома третьей степени обусловлен тем, что это простейший

вариант описания функции, меняющей выпуклость.

Параметры формулы (1) оценивались методом наименьших квадратов

по ряду значений максимальных уровней воды в верхнем и нижнем створах

за период с 1985 по 2023 год. Устойчивость полученной зависимости

от _max,Bдля всех рассматриваемых речных створов подтвержда-

H_max,H

H

ется тем обстоятельством, что добавление данных за 2024 год практически

не изменило оценки параметров формулы (1) и точность расчета макси-

мальных уровней воды в нижнем створе.

Рис. 1. Зависимость максимального уровня воды

р. Тобол – г. Курган от максимального уровня воды

р. Тобол – с. Звериноголовское.

в створе

H_max,H

H_max,B

Fig. 1. Dependence of the maximum water level

in the gauge

H_max,H

of the Tobol river – Kurgan on the maximum water level

in the

H_max,B

gauge of the Tobol River – Zverinogolovskoye village.

Во избежание ситуации, при которой прогноз максимального уровня

оказывается ниже его фактического значения, все прогнозы по формуле (1)

округлялись в большую сторону с точностью до 10 см.

116

Гидрологические прогнозы

Процедуру прогнозирования демонстрирует рис. 1, на котором пока-

~

зано поле фактических точек и график функции

.

H_max,H P (H_max,B

)

3

Полученный для 2024 года прогноз максимального уровня воды в створе

р. Тобол – г. Курган выделен красной точкой.

Среднеквадратическая погрешность определяемого формулой (1) про-

~

гноза максимального уровня воды в нижнем створе

равна:

H_max,H

~

S_Н S_Н1 R²

,

(2)

где S_Н– оценка стандартного отклонения ряда фактических значений

за весь период наблюдений с 1985 по 2023 год; – коэффициент

H_max,H

корреляции между величинами

R

и

[3].

H_max,HP (H_max,B

)

3

Для получения прогноза в вероятностной форме для каждого речного

створа рассчитаны допустимые верхний и нижний пределы максимального

уровня воды в нижнем створе при уровне значимости 10 %:

~

;

.

(3)

a(90%)  H_max,H1,645*S_Нb(90%)  H_max,H1,645*S_Н

При нормальном распределении вероятностей ошибок прогноза по

формуле (1) фактические значения максимального уровня воды

c

H_max,H

вероятностью 90 % должны попадать в интервал от нижнего предела

до верхнего предела [3, 9].

a(90%)

b(90%)

Составление прогноза возможно через сутки после наступления пика

половодья в верхнем створе, так как после прохождения пика в верхнем

створе необходимо выждать хотя бы сутки, чтобы убедиться, что это был

T

пик. Заблаговременность прогноза

той наступления пика в прогнозируемом нижнем створе T_Hи датой состав-

ления прогноза

равна разности T –

между да-

Т_ПР

H

.

Т_ПР

В табл. 2 для каждого речного створа приведены: дата составления

T

прогноза

; заблаговременность прогноза

суток; фактическое зна-

Т_ПР

чение максимального уровня воды в 2024 году в прогнозируемом нижнем

~

R

створе H_max,Hсм; его прогноз

см; коэффициент корреляции

H_max,H

между величинами

и

; среднеквадратическая погреш-

H_max,H

P (H_max,B

3

)

~

ность прогноза S_Нсм; округленные с точностью до 10 см границы дове-

рительного интервала

и

.

a(90%) b(90%)

T

Данные табл. 2 показывают, что заблаговременность прогноза

варьирует от 2 до 25 суток и в среднем равна 7,5 суткам. Таким образом,

прогнозы относятся к категории краткосрочных, среднесрочных и даже

долгосрочных.

В результате округления и завышения прогнозов все ошибки прогноза

~

H_max,H

–

H_max,Hположительные, варьируют от 4 до 47 см и в среднем

равны 23 см. Самую большую ошибку 47 см дал прогноз для створа

Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В., Юмина Н.М.

117

р. Тобол – г. Ялуторовск. Однако заблаговременность этого прогноза со-

ставляет 25 суток, то есть он является долгосрочным.

Таблица 2. Прогноз максимального уровня воды в 2024 году

Table 2. Forecast of the maximum water level in 2024

~

Т_ПР

H_max,H

a(90%) b(90%)

H_max,H

R

Река

Ишим

Тобол

Урал

Пункт

с. Ильинка

г. Ишим

T

4

S_Н

14.04

19.04

891

900 0,996 20

870

1020

1180

1140

980

930

1160

1300

1260

1120

880

3

1064 1090 0,993 39

1236 1240 0,994 34

1168 1200 0,991 37

1015 1050 0,987 39

пгт Абатский 23.04 10

с. Викулово

г. Курган

04.05

13.04

3

7

г. Ялуторовск 21.04 25

743

1187 1200 0,974 39

918 940 0,990 20

790 0,919 57

700

г. Оренбург

с. Илек

09.04

15.04

5

3

1130

910

1270

970

Урал

Согласно данным табл. 2, все фактические значения

попали в

H_max,H

соответствующие доверительные интервалы от a(90%) до b(90%) см. Сле-

довательно, прогнозы максимального уровня воды в вероятностной форме

имеют стопроцентную оправдываемость.

2. Прогнозирование сроков прохождения максимальных

уровней воды

~

Необходимым дополнением к прогнозу

максимального

H_max,H

уровня в заданном (нижнем) речном створе является прогноз даты его про-

хождения T_H. Оба прогноза составляются одновременно [12]. При извест-

ной дате прохождения пика половодья в верхнем створе T_Bвремя добега-

ния, то есть разность t между датами наступления максимальных

уровней воды в верхнем и нижнем створах, определяет дату T_H= T_B+ t

прохождения пика в прогнозируемом речном створе. Следовательно, необ-

ходим прогноз времени добегания t волны половодья на заданном

участке реки.

В обычных случаях применения метода соответственных уровней, ко-

гда река не выходит за пределы своего русла, дата T_Hпрогнозируется на

основе зависимости времени добегания t от максимального уровня воды

в верхнем створе

H

_max,B. Зависимость t(H_max,B

)

носит убывающий ха-

рактер, так как в этих условиях с повышением уровня воды возрастает ско-

рость течения и, как результат, увеличивается скорость продвижения

волны половодья по руслу [12, 19].

118

Гидрологические прогнозы

Анализ многолетних данных гидрологических наблюдений показал,

что для рассматриваемых участков рек при прохождении высоких полово-

дий статистически достоверная связь между величинами от-

и

t H_max,B

сутствует. Это может объясняться следующими причинами.

1. При выходе воды на пойму и ее последующем широком разливе на

отдельных участках реки временно могут формироваться рукава и протоки

с различными скоростями течения, а также участки со стоячей водой. Для

пойменных участков характерна значительно меньшая глубина потока

и более значительная шероховатость его ложа. В результате при высоких

уровнях воды средняя скорость течения реки и скорость продвижения

волны половодья могут снижаться, а время добегания волны половодья мо-

жет возрастать [5, 10, 16].

2. Для рассматриваемых речных створов характерны типичные для

больших равнинных рек плавные очертания гидрографов половодья с не-

четко выраженной вершиной и медленным спадом, на который в отдель-

ные годы могут накладываться дождевые паводки и попуски из водохра-

нилищ [5]. Самые высокие уровни воды наблюдаются в течение

достаточно продолжительного периода, а четко выраженный пик полово-

дья отсутствует. В таких условиях в каждом речном створе дата с макси-

мальным уровнем воды зависит от непредсказуемых обстоятельств и мо-

жет случайным образом варьировать в пределах нескольких дней. Разность

t между датами наступления максимальных уровней воды в верхнем и

нижнем створах может случайным образом варьировать в еще больших

пределах.

Получение прогноза даты прохождения пика половодья включает сле-

дующие этапы.

 Для каждого прогнозируемого речного створа анализируется ряд

фактических значений t , наблюдавшихся в течение периода с 1985 по

2023 год.

 Неправдоподобно большие и неправдоподобно малые, тем более

отрицательные значения t , должны быть отброшены.

 По сокращенному таким образом ряду продолжительностью не ме-

нее 25 лет должны быть получены оценки среднего значения M(t ) и стан-

дартного отклонения S(t ).

Границы доверительного интервала для вероятных значений t опре-

деляются нижним min(t ) и верхним max( t ) пределами:

min( t ) =

, max( t ) =

.

(4)

M(t)1,645*S(t)

M(t)1,645*S(t)

Ожидаемое значение времени добегания волны половодья t должно

попадать в доверительный интервал от нижнего предела min(t ) до верх-

него предела max( t ) с вероятностью, близкой к 90 %.

Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В., Юмина Н.М.

119

В табл. 3 для каждого речного створа приведены: дата

прохожде-

T_В

ния пика половодья в вышерасположенном створе; дата

прохождения

T_Н

пика в нижерасположенном створе; разность между этими датами

в

t

2024 году. Там же приведены округленные с точностью до суток среднее

значение M( ), стандартное отклонение S( ); нижний min( ) и верх-

t t t

ний max( ) пределы доверительного интервала для времени добегания

t

пика половодья

.

t

Таблица 3. Характеристики времени добегания

в 2024 году

пика половодья

t

Table 3. Characteristics of the time of reaching

the peak of the flood in 2024

t

Река

Пункт

T_В

T_Н

M(

)

S(

)

min( ) max(

)

t

Ишим

с. Ильинка

г. Ишим

13.04 18.04

18.04 22.04

5

4

8,5

6,6

9,3

7,2

9,8

23

3,6

2,9

2,2

3,5

2,8

7

3

2

14

11

пгт Абатский 22.04 03.05

11

4

6

13

14

34

15

9

с. Викулово

03.05 07.05

12.04 20.04

1

Тобол г. Курган

8

5

Тобол г. Ялуторовск 20.04 16.05

26

6

11

5

Урал

г. Оренбург

с. Илек

08.04 14.04

14.04 18.04

10,1

5,1

2,8

2,6

4

1

Помещенные в табл. 3 данные показывают, что для всех речных ство-

ров фактические значения t попали в соответствующие доверительные

интервалы.

~

Прогноз T_Ндаты прохождения пика в нижнем створе определяется пу-

тем прибавления среднего значения времени добегания M(t ) к дате

T_В

~

прохождения пика в верхнем створе, то есть T_Н

=

+ M( t ).

T_В

Вероятностная форма прогноза даты

определяется границами до-

T_Н

верительного интервала, в который эта дата должна попасть с вероятно-

стью приблизительно равной 90 %:

min(Т_Н) = T_B+ min(t ); max(T_H) = T_B+ max (t ).

В табл. 4 для каждого речного створа приведены: дата составления

прогноза ; заблаговременность прогноза T ; фактическая

(5)

=

–

Т_ПР

T_НТ_ПР

дата прохождения пика половодья в прогнозируемом нижнем створе в 2024

~

году

; ее прогноз T_Н; прогнозируемые пределы min(T_H) и max(T_H) ве-

T_Н

роятных значений этой даты.

120

Гидрологические прогнозы

Таблица 4. Прогноз даты прохождения пика половодья в 2024 году

Table 4. Forecast of the date of the flood peak in 2024

~

min(

)

max(

T_Н

)

Т_ПР

T_Н

T

Река

Ишим

Тобол

Урал

Пункт

с. Ильинка

г. Ишим

14.04

19.04

23.04

04.05

13.04

21.04

09.04

14.04

4

3

18.04

22.04

03.05

07.05

20.04

16.05

14.04

18.04

21.04

24.04

01.05

10.05

21.04

13.05

18.04

19.04

16.04

20.04

28.04

04.05

17.04

02.05

13.04

15.04

27.04

29.04

05.05

16.05

26.04

25.05

23.04

пгт Абатский

с. Викулово

г. Курган

10

3

7

г. Ялуторовск

г. Оренбург

с. Илек

25

5

Урал

3

Прогнозы даты прохождения пика половодья имеют ту же заблаговре-

менность T , что и прогнозы высоты этого пика. Она варьирует от 3 до 25

суток и в среднем равна 7,5 суткам. Таким образом, прогнозы относятся к

категории краткосрочных, среднесрочных и даже долгосрочных.

Согласно данным табл. 4, абсолютные значения ошибки прогноза

~

T_Н

–

варьируют от 1 до 4 суток и в среднем равны 3 суткам. Все факти-

T_Н

ческие значения Т_Нпопали в соответствующие доверительные интервалы

от min(T_H) до max(T_H) . Следовательно, прогнозы даты прохождения мак-

симального уровня воды в вероятностной форме имеют стопроцентную

оправдываемость.

Примером описанной процедуры является получение вероятностной

формы прогноза прохождения пика половодья в створе р. Тобол – г. Кур-

ган в 2024 году. В расположенном выше по течению створе р. Тобол –

с. Звериноголовское пик половодья прошел 12 апреля. Согласно табл. 3,

минимальное и максимальное вероятное время добегания волны половодья

между этими створами равны min( t ) = 5 суток и max( t ) = 14 суток. Сле-

довательно, с вероятностью приблизительно 90 % пик половодья в створе

р. Тобол – г. Курган должен был пройти с 17 по 26 апреля 2024 года. Фак-

тически этот пик наблюдался 20 апреля, то есть прогноз даты прохождения

максимального уровня воды в реке Тобол у города Курган полностью

оправдался.

3. Прогнозирование спада половодья до отметки опасного явления

Важнейшей прогнозируемой характеристикой спада половодья явля-

ется дата

снижения уровня воды до отметки

опасного явления,

Н_ОЯ

Т_ОЯ

превышение которой может наносить большой материальный ущерб и

представлять угрозу здоровью и жизни людей. Критические уровни воды

Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В., Юмина Н.М.

121

назначаются УГМС и для рассматриваемых речных створов их зна-

Н_ОЯ

чения приведены ниже в табл. 6.

Прогнозирование даты

возможно после того, как максимальный

Т_ОЯ

уровень половодья

и дата его прохождения

уже известны. В

T_max

H_max

предлагаемой методике используется предварительный прогноз кривой

спада уровней воды , в которой время измеряется в сутках после

даты прохождения пика половодья, так что дате его пика соответ-

t

H(t)

T_max

t

ствует значение = 0. Функцию предлагается описывать уравнением:

,

(6)

H(t)  H_min(H_maxH_min)*F(t)

где

– минимальный за весь период наблюдений уровень воды в конце

H_min

спада половодья в летне-осенний период;

– некоторая функция, кото-

F(t)

рая предполагается общей для спада половодья в рассматриваемом речном

створе за все годы, в которые пик половодья был достаточно высоким и

дождевые паводки не накладывались на его спад. Функция

равна еди-

F(t)

нице при

t

= 0 и убывает до нуля с ростом

t

.

Минимальный уровень воды

, до которого при отсутствии значи-

H_min

тельных дождей может снижаться кривая спада половодья

, определя-

H(t)

ется по фактическим данным гидрологических наблюдений в прогнозиру-

емом речном створе.

i

При наличии года под номером с четко выраженной кривой спада

и высоким максимальным уровнем воды

оценка функции

H_max,i

H_i(t)

определяется формулой:

F(t)

H_i(t)H_min

H_max,iH_min

.

(7)

F_i(t) [

]

Успешность оценки функции

по формуле (7) зависит от правиль-

F (t)

i

ности выбора года с четко выраженным спадом достаточно высокого по-

ловодья.

После того, как оценка функции

по формуле (7) получена, ее сле-

F (t)

i

дует подставлять в формулу (6), которая для года под номером даст

оценку кривой спада . Эта функция равна уже известному для про-

H_i(t)

гнозируемого половодья максимальному уровню воды

t

при = 0 и

H_max

t

убывает до минимального уровня

с ростом . Данную процедуру сле-

H_min

дует выполнить для k = 2 – 6 подходящих лет. В результате будут полу-

чены частные прогнозы , …, ожидаемого спада уровней при

H₁(t)

H_k(t)

максимуме

с датой его прохождения

.

H_max

Свидетельством обоснованности использования основной формулы

(6) и успешности выбора лет и получения оценок являются близкие

T_max

H_i(t)

122

Гидрологические прогнозы

t

значения функций

, …,

при всех значениях . Для каждого из

H₁(t)

H_k(t)

рассматриваемых створов на реках Ишим, Тобол и Курган такие функции

оказались достаточно близкими. В качестве примера на рис. 2 представ-

лены три прогнозные оценки кривой спада уровней половодья 2024 года в

створе р. Урал – г. Оренбург, полученные по данным за 1988 год с макси-

мальным уровнем 842 см, за 1998 год с максимальным уровнем 907 см и за

2005 год с максимальным уровнем 894 см.

Рис. 2. Оценки кривой спада половодья 2024 года в створе р. Урал –

г. Оренбург по данным 1988 года (синим), 1998 года (красным), 2005

года (зеленым).

Fig. 2. Estimates of the 2024 flood recession curve in the gauge of the Ural

river – Orenburg according to data from 1988 (blue), 1998 (red), 2005

(green).

~

Расчетную кривую спада половодья H(t) следует получать путем

осреднения частных прогнозов

, …,

. При этом время

t

следует

H₁(t)

H_k(t)

перевести в календарные даты с учетом даты

прохождения пика по-

T_max

ловодья.

~

Прогноз Т_ОЯдаты снижения уровня воды до отметки

опасного

Н_ОЯ

явления на основе расчетной кривой спада определяется из условия:

~ ~ ~ ~

H(Т_ОЯ1)  H_ОЯH(Т_ОЯ)  H_ОЯ

,

.

(8)

~

Для удобства получения прогнозов даты Т_ОЯрасчетную кривую спада

удобно представлять в табличном виде. В качестве примера в табл. 5 при-

~

ведены ординаты прогноза кривой спада половодья 2024 года H(t)

в

створе р. Урал – г. Оренбург.

Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В., Юмина Н.М.

123

Таблица 5. Ординаты прогноза расчетной кривой спада половодья

~

2024 года

в створе р. Урал – г. Оренбург

H(t)

Table 5. Ordinates of the forecast of the calculated curve of the flood recession

~

in 2024

in the gauge of the Ural river – Orenburg

H(t)

~

Дата t

H(t)

1187

1168

1141

1115

1080

1040

990

Дата t

24.04

25.04

26.04

27.04

28.04

29.04

30.04

01.05

02.05

03.05

H(t)

14.04

15.04

16.04

17.04

18.04

19.04

20.04

21.04

22.04

23.04

809

773

735

704

680

658

639

618

597

576

939

899

850

В соответствие с данными табл. 5, для половодья 2024 года в створе

р. Урал – г. Оренбург при

= 930 см спад уровня воды до отметки опас-

Н_ОЯ

~

ного явления прогнозировалось на дату Т_ОЯ= 22.04.2024, которая в таб-

лице выделена жирным шрифтом.

Предлагаемая методика позволяет прогнозировать дату снижения

уровня воды до отметки опасного явления уже через сутки после прохож-

дения пика половодья, то есть с максимально возможной заблаговременно-

~

стью. Прогнозы Т_ОЯмогут давать более ранние даты по сравнению с фак-

тическими датами

. Это обусловлено следующими причинами.

Т_ОЯ

1. При получении расчетной кривой спада

по формуле (6) учиты-

H(t)

вается минимальный за весь период наблюдений уровень воды в конце

спада половодья в летне-осенний период . При спаде прогнозируе-

H_min

мого половодья уровень воды, скорее всего, будет снижаться до более вы-

сокой отметки.

2. При получении используемой в формуле (6) вспомогательной функ-

ции

и расчетной кривой спада прогнозируемого половодья

ис-

H(t)

F(t)

пользовались данные о фактически наблюдавшихся высоких половодьях с

четко выраженным, а, следовательно, с максимально быстрым спадом.

Спад прогнозируемого экстремально высокого половодья может происхо-

дить медленнее за счет более продолжительного освобождения от воды

максимально затопленной поймы.

124

Гидрологические прогнозы

Примером задержки спада половодья служит ситуация в створах на

реке Ишим.

В створе р. Ишим – с. Ильинка в 2024 году наблюдались два четко вы-

раженных пика половодья. Первый пик с максимальным уровнем воды

наблюдался 18 апреля, а второй, более низкий пик – 29 апреля. В связи с

этим 30 апреля был выпущен уточняющий прогноз, результаты которого

приведены в табл. 6.

Таблица 6. Прогноз даты спада уровней воды до отметки

в 2024 году

Н_ОЯ

Table 6. Forecast of the date of the decline of water levels to the dangerous mark

in 2024

~

Река

Пункт

Т_ОЯ

Н_ОЯ

800

850

700

930

890

Т_ОЯminТ_ОЯmaxТ_ОЯ

Т_ПР

T

11

19

9

Ишим

с. Ильинка

г. Ишим

30.04 11.05 10.05 07.05

02.05 21.05 22.05 19.05

21.04 30.04 01.05 28.04

09.04 13.04 13.04 10.04

15.04 23.04 22.04 19.04

19.04 26.04 23.04 20.04

13.05

25.05

04.05

16.04

25.04

26.04

Тобол г. Курган

Урал

г. Орск

4

г. Оренбург

с. Илек

8

7

В створе р. Ишим – г. Ишим в 2024 году также наблюдались два менее

выраженных пика половодья. Первый пик с максимальным уровнем воды

наблюдался 22 апреля, а второй, более низкий и слабо выраженный пик –

1 мая. В связи с этим 2 мая также был выпущен уточняющий прогноз, ре-

зультаты которого приведены в табл. 6.

В расположенных ниже по течению створах р. Ишим – пгт Абатский

и р. Ишим – с. Викулово под влиянием отмеченной выше двойной волны

половодья и ее последующей трансформации в русле пик половодья ока-

зался настолько распластанным, что сколько-нибудь надежное прогнози-

рование его спада оказалось невозможным.

При выпуске прогноза даты снижения уровня воды до отметки опас-

ного явления в вероятностной форме ожидаемая дата

спада уровня

Т_ОЯ

воды до отметки

задается доверительным интервалом с границами:

Н_ОЯ

~

minТ_ОЯ

=

Т_ОЯ– 3; maxТ_ОЯ

=

Т_ОЯ+ 3.

(9)

В табл. 6 для створов на реках Ишим, Тобол и Урал с максимальными

уровнями воды, превышающими отметку опасного явления, приведены:

отметка

см опасного явления; дата составления прогноза

; фак-

Т_ПР

Н_ОЯ

тическая дата

снижения уровня воды до опасной отметки; ее прогноз

Т_ОЯ

~

; границы доверительного интервала minТ_ОЯ

и

; заблаговре-

maxТ_ОЯ

Т_ОЯ

менность прогноза Т

=

–

суток.

Т_ОЯТ_ПР

Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В., Юмина Н.М.

125

Данные табл. 6 показывают, что заблаговременность прогноза Т

варьирует от 4 до 19 суток и в среднем равна 9,7 суток. Таким образом,

прогнозы в основном относятся к категории среднесрочных.

Согласно данным табл. 6, абсолютные значения ошибок прогноза

~

–

Т_ОЯне превышают трех суток и в среднем равны 1,2 суткам. Все

Т_ОЯ

фактические значения

попали в соответствующие доверительные ин-

Т_ОЯ

~

тервалы от minТ_ОЯдо

. Следовательно, прогнозы даты снижения

maxТ_ОЯ

уровня воды до отметки опасного явления в вероятностной форме имеют

стопроцентную оправдываемость.

4. Прогнозирование спада половодья до отметки

неблагоприятного явления

Другой важной прогнозируемой характеристикой половодья является

дата

снижения уровня воды до отметки

неблагоприятного явле-

Т_НЯ

Н_НЯ

ния, превышение которой также значительно затрудняет деятельность от-

дельных отраслей хозяйства и наносит ущерб экономике и населению.

Критические уровни воды

назначаются УГМС и для рассматри-

Н_НЯ

ваемых речных створов их значения приведены в табл. 7.

Таблица 7. Прогноз даты спада уровней воды до отметки

_НЯв 2024 году

Н

Table 7. Forecast of the date of the decline of water levels to the unfavorable

mark

_НЯin 2024

Н

~

Н_НЯ

Т_ПР

Т_НЯ

minТ_НЯmaxТ_НЯ

Т_НЯ

Река

Ишим

Тобол

Урал

Пункт

Т

31

7

с. Ильинка

г. Курган

г. Орск

750

700

360

760

850

30.04 31.05 04.06

05.05 12.05 12.05

23.04 01.05 29.04

28.04 04.05 06.05

28.04 08.05 10.05

30.05

07.05

24.04

01.05

05.05

09.06

17.05

04.05

11.05

15.05

8

Урал

г. Оренбург

с. Илек

6

Урал

10

Предлагаемая методика прогнозирование даты

основана на экс-

Т_НЯ

траполяции наблюдаемой в течение 10–15 суток кривой спада уровней

воды с помощью полинома третьей степени , параметры

H(t)

H  P (t)

3

которого подбираются автоматически с помощью программы Excel.

~

Прогноз

на основе этой кривой спада определяется из условия:

Т_НЯ

~

P (Т_НЯ1)  H_НЯ

,

P(Т_НЯ)  H_НЯ

.

(10)

3

При получении такого прогноза должно выполняться дополнительное

условие: после добавления соответствующих прогнозируемому году зна-

~

чений Т_НЯ

и

P (Т_НЯ) к фактическим значениям t и

используемой

H(t)

3

126

Гидрологические прогнозы

кривой спада коэффициент корреляции между величинами

должен принимать максимальное значение.

и

H(t) P (t)

3

Процедуру прогнозирования демонстрирует рис. 3, на котором пока-

зана фактическая кривая спада половодья

в створе р. Урал – г. Орен-

H(t)

бург в 2024 году и график функции

. Соответствующая состав-

H  P (t)

3

~

ленному 28 апреля 2024 года прогнозу точка с координатами Т_НЯ

и

P (Т_НЯ)

3

выделена красным цветом.

Рис. 3. Прогноз даты

в створе р. Урал – г. Оренбург в 2024 году.

Т_НЯ

Fig. 3. Forecast of the date

in the gauge of the Ural river – Orenburg

Т_НЯ

in 2024.

Аппроксимация фактической кривой спада уровней воды

поли-

H(t)

номом

и тем более его экстраполяция служат источником значитель-

P (t)

3

ных ошибок прогноза. В связи с этим прогноз целесообразно выпускать в

вероятностной форме. Ожидаемая дата спада уровней воды до отметки

задается доверительным интервалом с границами:

Н_НЯ

~

minТ_НЯ

=

Т_НЯ– 5; maxТ_НЯ

=

Т_НЯ+ 5.

(11)

В табл. 7 для створов с назначенными отметками уровня воды небла-

гоприятного явления на реках Ишим, Тобол и Урал приведены: отметка

см неблагоприятного явления; дата составления прогноза

;

H_НЯ

Т_ПР.

фактическая дата

снижения уровня воды до отметки Н_НЯ; ее прогноз

Т_НЯ

~

; границы доверительного интервала minТ_НЯ

и

maxТ_НЯ; заблаговре-

Т_НЯ

Т

менность прогноза

=

–

суток.

Т_НЯТ_ПР.

Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В., Юмина Н.М.

127

Т

Данные табл. 7 показывают, что заблаговременность прогноза

варьирует от 6 до 31 суток и в среднем равна 12,4 суток. Таким образом,

все прогнозы относятся к категории среднесрочных.

Согласно данным табл. 7, абсолютные значения ошибок прогноза

~

–

не превышают четырех суток и в среднем равны 2 суткам. Все

Т_НЯТ_НЯ

фактические значения

попали в соответствующие доверительные ин-

Т_НЯ

~

тервалы от minТ_НЯдо maxТ_НЯ. Следовательно, прогнозы даты снижения

уровня воды до отметки неблагоприятного явления в вероятностной форме

имеют стопроцентную оправдываемость.

По мере поступления данных гидрологических наблюдений прогнозы

можно корректировать. При этом заблаговременность прогнозов будет

снижаться, а их точность – возрастать.

Заключение

В отделе речных гидрологических прогнозов ФГБУ «Гидрометцентр

России» разработана система методик краткосрочного, среднесрочного и

долгосрочного прогнозирования характеристик весеннего половодья, ко-

торая была реализована для 8 створов на реках Ишим, Тобол и Урал в 2024

году. Прогнозировались пик половодья, то есть максимальный уровень

воды, дата прохождения пика половодья, даты снижения уровня воды до

отметки опасного и неблагоприятного явления. Все четыре методики осно-

ваны на статистическом анализе данных гидрологических наблюдений за

период с 1985 по 2023 год.

Максимальный уровень воды в прогнозируемом нижнем речном

створе определялся в зависимости от уже наблюдавшегося максимального

уровня воды в верхнем створе. Средняя заблаговременность прогнозов

равна 7,5 суткам. Средняя ошибка прогнозов равна 23 см.

Дата прохождения пика половодья в прогнозируемом нижнем створе

определялась с учетом даты прохождения пика в верхнем створе и вероят-

ных значений времени его добегания от верхнего створа до нижнего. Сред-

няя заблаговременность прогнозов равна 7,5 суткам. Средняя ошибка про-

гнозов равна 3 суткам.

Дата снижения уровня воды до отметки опасного явления определя-

лась с учетом высоты и даты прохождения пика половодья с использова-

нием расчетной кривой спада, полученной путем статистического анализа

спадов половодья, наблюдавшихся в прежние годы. Средняя заблаговре-

менность прогнозов равна 9,7 суткам. Средняя ошибка прогнозов равна

1,2 суток.

Дата снижения уровня воды до отметки неблагоприятного явления

определялась путем экстраполяции спада половодья, наблюдавшегося в те-

чение 10–15 дней после прохождения пика половодья. Средняя заблаговре-

менность прогнозов равна 12,4 суток. Средняя ошибка прогнозов равна

2 суткам.

128

Гидрологические прогнозы

Все прогнозы выпускались не только в обычной детерминированной,

но и в вероятностной форме с указанием соответствующих доверительных

интервалов, в которые прогнозируемая характеристика половодья должна

попасть с вероятностью приблизительно равной 90 %. Оправдываемость

таких прогнозов оказалась стопроцентной.

Прогнозы указанных характеристик половодья оказались вполне удо-

влетворительными и были использованы при организации и проведении

мероприятий по защите населения и хозяйственных объектов от наводне-

ний, наблюдавшихся в 2024 году на реках Ишим, Тобол и Урал.

Простота и эффективность разработанных методик позволяет реко-

мендовать их для использования при прогнозировании характеристик по-

ловодья в различных регионах России.

Список литературы

1. Алексеевский Н.И., Фролова Н.Л., Христофоров А.В. Мониторинг гидрологических

процессов и повышение безопасности водопользования. М.: Изд-во МГУ, 2011. 387 с.

2. Бефани Н.Ф. Прогнозирование дождевых паводков на основе территориально об-

щих зависимостей. Л.: Гидрометеоиздат, 1977. 181 с.

3. Борщ С.В., Христофоров А.В. Оценка качества прогнозов речного стока // Труды

Гидрометцентра России. 2015. Специальный выпуск 355. 198 с.

4. Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В. Прогнозирование стока рек России.

М.: Гидрометцентр России, 2023. 200 с.

5. Бураков Д.А., Литвинова О.С. Водно-балансовые зависимости для прогноза стока

талых вод на юге Западно-Сибирской равнины // География и природные ресурсы. 2010.

Вып. 3. С. 111-120.

6. Комаров В.Д. Весенний сток равнинных рек европейской части СССР, условия его

формирования и методы прогнозов. М.: Гидрометеоиздат, 1959. 259 с.

7. Кучмент Л.С., Демидов В.Н., Мотовилов Ю.Г. Формирование речного стока. Л.:

Гидрометеоиздат, 1983. 216 с.

8. Мотовилов Ю.Г., Гельфан А.Н. Модели формирования стока в задачах гидрологии

речных бассейнов. - М., Изд-во РАН, 2018. 300 с.

9. Наставление по службе прогнозов. Раздел 3. Часть 1. Прогнозы режима вод суши.

Л.: Гидрометеоиздат, 1962. 193 с.

10. Нежиховский Р.А. Наводнения на реках и озерах. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. 183 с.

11. Руководство по гидрологическим прогнозам. Вып. 1. Долгосрочные прогнозы эле-

ментов водного режима рек и водохранилищ. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 356 с.

12. Руководство по гидрологическим прогнозам. Вып. 2. Краткосрочный прогноз рас-

хода и уровня воды на реках. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 245 с.

13. Сендайская рамочная программа по снижению риска бедствий на 2015–2030 гг.,

Управление ООН по уменьшению опасности бедствий. Женева, 2015 40 с.

14. Экстремальные гидрологические ситуации / под ред. Н.И. Коронкевича, Е.А. Ба-

рабанова, И.С. Зайцевой. М.: Медиа-ПРЕСС, 2010. 464 с.

15. Adams T.E., Pagano T.C. Flood Forecasting – A Global Perspective. Academic Press,

2016. 480 p.

16. Dingman S.L. Physical Hydrology. New York Macmillan Publishing Company, 1993

575 p.

17. Guide to Hydrological Practices. Volume I. Hydrology – From Measurement to Hydro-

logical Information // WMO-No. 0168. 2009. 238 p.

18. Guidelines in Implementation of Coastal Inundation Forecasting – Early Warning Sys-

tem // WMO-No. 1293. 2022. 61 p.

19. Manual on Flood Forecasting and Warning // WMO-No. 1072. 2011. 138 p.

20. Multi-hazard Early Warning Systems: A Checklist. World Meteorological Organization,

2018. 18 p.

Борщ С.В., Симонов Ю.А., Христофоров А.В., Юмина Н.М.

129

21. Swail V., Grimes S., Pilon P., Canterford R., Simonov Y. Early Warnings of Coastal

Inundation // WMO Bulletin. 2019. Vol. 68 (2). P. 49-55.

22. WMO-No. 1281. World Meteorological Congress. Abridged Final Report of the Extraor-

dinary Session. Virtual session. 11–21 October 2021. 248 p.

References

1. Alekseevskiy N.I., Frolova N.L., Khristoforov A.V. Monitoring gidrologicheskih processov

i povyshenie bezopasnosti vodopol'zovaniya. Moscow, MSU publ., 2011, 387 p. [in Russ.].

2. Befani N.F. Prognozirovanie dozhdevyh pavodkov na osnove territorial'no obshchih zavi-

simostey. Leningrad, Gidrometeoizdat publ., 1977, 181 p. [in Russ.].

3. Borsch S.V., Khristoforov A.V. Hydrologic flow forecast verification. Trudy

Gidromettsentra Rossii [Proceedings of the Hydrometcentre of Russia], 2015, vol. 355, 198 p.

[in Russ.].

4. Borsch S.V., Simonov Y.A., Khristoforov A.V. Prognozirovanie stoka rek Rossii [Stream-

flow forecasting in Russia]. Moscow, Hydrometcenter of Russia, 2023, 200 p. [in Russ.].

5. Burakov D.A., Litvinova O.S. Water-balance dependencies for forecasting the melt water

runoff in the south of the West-Siberian plain. Geography and Natural Resources, 2010, vol. 31,

тo. 3, pp. 269-277.

6. Komarov V.D. Vesenniy stok ravninnyh rek evropeyskoy chasti SSSR, usloviya ego

formirovaniya i metody prognozov. Moscow, Gidrometeoizdat publ., 1959, 259 p. [in Russ.].

7. Kuchment L.S., Demidov V.N., Motovilov Yu.G. Formirovanie rechnogo stoka. Leningrad,

Gidrometeoizdat publ., 1983, 216 p. [in Russ.].

8. Motovilov Yu.G., Gel'fan A.N. Modeli formirovaniya stoka v zadachah gidrologii rechnyh

basseynov. Moscow, Izd-vo RAN, 2018, 300 p. [in Russ.].

9. Nastavlenie po sluzhbe prognozov. Razdel 3. Part 1. Prognozy rezhima vod sushi. Lenin-

grad, Gidrometeoizdat publ., 1962, 193 p. [in Russ.].

10. Nezhihovskiy R.A. Navodneniya na rekah i ozerah. Leningrad, Gidrometeoizdat publ.,

1988, 183 p. [in Russ.].

11. Rukovodstvo po gidrologicheskim prognozam. Vyp. 1. Dolgosrochnye prognozy ele-

mentov vodnogo rezhima rek i vodohranilishch. Leningrad, Gidrometeoizdat publ., 1989, 356 p.

[in Russ.].

12. Rukovodstvo po gidrologicheskim prognozam. Vyp. 2. Kratkosrochnyy prognoz

raskhoda i urovnya vody na rekah. Leningrad, Gidrometeoizdat publ., 1989, 245 p. [in Russ.].

13. Sendayskaya ramochnaya programma po snizheniyu riska bedstviy na 2015–2030 gg.,

Upravlenie OON po umen'sheniyu opasnosti bedstviy. Zheneva, 2015, 40 p. [in Russ.].

14. Ekstremal'nye gidrologicheskie situatsii. pod red. N.I. Koronkevicha, E.A. Barabanova,

I.S. Zaytsevoy. Moscow, Media-PRESS publ., 2010, 464 p. [in Russ.].

15. Adams T.E., Pagano T.C. Flood Forecasting – A Global Perspective. Academic Press,

2016, 480 p.

16. Dingman S.L. Physical Hydrology. New York Macmillan Publishing Company, 1993,

575 p.

17. Guide to Hydrological Practices. Volume I. Hydrology – From Measurement to Hydro-

logical Information. WMO-No. 0168, 2009, 238 p.

18. Guidelines in Implementation of Coastal Inundation Forecasting – Early Warning Sys-

tem. WMO-No. 1293, 2022, 61 p.

19. Manual on Flood Forecasting and Warning. WMO-No. 1072, 2011, 138 p.

20. Multi-hazard Early Warning Systems: A Checklist. World Meteorological Organization,

2018, 18 p.

21. Swail V., Grimes S., Pilon P., Canterford R., Simonov Y. Early Warnings of Coastal

Inundation. WMO Bulletin, 2019, vol. 68, no. 2, pp. 49-55.

22. WMO-No. 1281. World Meteorological Congress. Abridged Final Report of the Extraor-

dinary Session. Virtual session. 11–21 October 2021, 248 p.

Поступила 28.05.2024; одобрена после рецензирования 06.06.2024;

принята в печать 17.06.2024.

Submitted 28.05.2024; approved after reviewing 06.06.2024;

accepted for publication 17.06.2024.