Метеорологические измерения. 
Распределенные в пространстве и во времени

		Всякое действие рождает ошибки. Проблема контроля

	Попробуем географию! Лондон - столица Парижа, а Париж - столица Рима, а Рим… Нет, все не так, все неправильно!
					Л. Кэрролл  «Алиса в Стране Чудес»

	Информация, полученная в результате измерений, передается в метеорологические центры. При передаче информации на непосредственные ошибки измерений могут накладываться иные ошибки. Поскольку таких телеграмм тысячи, набираются сотни ошибок. Например, порядок, в котором передаются индекс (номер) станции и результаты измерений, нестандартен. Человек такую ошибку исправит легко, но если в алгоритме обработки и контроля информации не предусмотреть, как такая ошибка может быть обнаружена, то, очевидно, дальнейшие действия компьютера будут следующие. Программа прогноза будет считать, что в точке с индексом, получившимся из чисел, описывающих температуру, наблюдается температура, получившаяся из чисел, описывающих индекс. Работа программы далее будет напоминать работу системы шестеренок, в которую щедрой рукой высыпали горсть шурупов. И вот, чтобы этого не произошло, метеоинформация, приходящая по каналам связи, проходит первичную обработку и контроль.
		В результате этой первичной обработки числа, описывающие координаты станции, срок наблюдения, температуру, ветер и влажность на различных высотах будут стоять в ``макете'' строго на своих местах. Место отсутствующей информации (например, если зонд не долетел до положенной высоты) заполняется (кодируется) в макете специальным символом.
		Программа контроля должна обнаружить грубые ошибки и, если возможно, исправить их, а если нет, то отбросить. Для обнаружения, например, полученные данные можно сравнить с их климатическими характеристиками (средними значениями в этой точке за данный месяц). Если зимой из Арктики сообщат о температуре , то человек, знающий географию, этому не поверит. Нужно, чтобы и компьютер ``не поверил''. Такой вид контроля называется климатическим. Для его применения необходимо иметь в памяти машины не только поля ``первого приближения'' (в данном случае - поля климатических величин), но и поля допустимых (с точки зрения машинного контроля) отклонений метеорологических величин от этих средних.
		Можно сравнить проверяемое значение метеорологической величины с аналогичными на соседних станциях. Такой вид контроля называется горизонтальным. Можно сравнить значение с аналогичными за предыдущий срок наблюдений - такой контроль называется временн\'ым.
		Разрабатывая процедуру прогноза, рассчитывают, что полученные результаты будут больше соответствовать действительности, чем климатические поля. Иначе, зачем бы огород (т. е. прогноз) городить?
		Следовательно, в качестве первого приближения для программ контроля целесообразно использовать не климатические, а прогностические поля. В этом случае можно уменьшить ширину ``окна’’, т. е. значения отклонений, которые считаются максимально допустимыми. Таким образом, при использовании вместо климата хорошего прогноза первое приближение в алгоритме контроля улучшается. При этом уменьшается вероятность возникновения ошибок двух родов: пропуск содержащейся в телеграмме ошибки или браковка верного значения, которое существенно отличается от климатического поля (возможно, конкретные значения существенно отличаются от среднего).
	Рис. B2. Средние профили температуры, плотности, давления. Здесь 	           Рис.1. Можно сравнить проверяемую величину, соответствующую какой-то высоте измерения радиозонда, с аналогичными величинами на соседних высотах, которые также приводятся в аэрологической телеграмме. Такой вид контроля называется вертикальным. Для его применения необходимо знать максимально возможную скорость изменения контролируемого поля по вертикали. На рис.1 приведены средние значения некоторых метеорологических величин, на рис.2 - результаты измерений, содержавшиеся в двух аэрологических телеграммах. Проанализировав совместно эти два рисунка, можно также грубо оценить допустимые (нужно, чтобы контроль их пропускал) отклонения температуры от климатических значений. Более подробно допустимость тех или иных отклонений обсуждаются в $3, см. также рис. 4б	

		Для выявления ошибок передачи (если между измерительным прибором и нашим компьютером работает человек, будут и ошибки!) весьма эффективен контроль вертикальный, который проверяет согласованность изменения давления и температуры с высотой в соответствии с уравнением гидростатики (см. Часть 1). На входе имеем функцию и ее производную и проверяем, действительно ли при дифференцировании получится именно такая производная? И если нет, выясняем, где именно ошибка?
		Существующие алгоритмы контроля постоянно усовершенствуются, хотя и сейчас они неплохо устраняют наиболее распространенные ошибки.
		Наилучшие результаты дает комплексный контроль, который состоит из нескольких видов контроля, перечисленных выше. При этом ширина различных ``окон'' должна быть взаимно согласована. Самый сложный блок такого алгоритма - блок принятия решения: при наличии таких-то подозрений, окончательно считать число верным или ошибочным.
		Качество контроля характеризуется двумя числами - ошибками обоих родов. Субъективный анализ результатов работы алгоритма контроля позволяет понять, в каких ситуациях (например, при контроле данных из каких географических районов) алгоритм работает неудовлетворительно (пропускает какие-то ошибки или отбрасывает верные данные) и как можно улучшить алгоритм?
	             Рис. 2. Профили температуры (справа) и температуры точки росы (слева). Запуски, описанные на рис.win_n. Техника зондирования постепенно совершенствуется. Появляются метеосообщения, насчитывающие уже не десятки, а сотни вертикальных уровней, и их начинают использовать в некоторых метеоцентрах. Верхний уровень зондирования для таких зондов уже не 10гПа, а 3,5гПа. Лучшее вертикальное разрешение для температуры и влажности позволяет, например, оценивать границы облачности по вертикали. Разумеется, для того чтобы такое число уровней имело смысл, инерция измерительных приборов должна быть очень мала - в противном случае показания будут мало отличаться друг от друга, даже если температура и резко изменится
	
	Впрочем, ошибки бывают и экзотические. Одна станция, расположенная в Закавказье, постоянно передавала данные, сильно отличающиеся от данных соседних станций. Синоптики к этому привыкли и при анализе поступающей информации данные этой станции не учитывали. Автоматический контроль также часто браковал эту информацию.
		``Расследование'' показало, что это ... японская станция. Когда-то при набивке координат на перфокарты в долготе этой станции пропустили единичку, и долгота уменьшилась ровно на , а широта не изменилась. В результате состояние атмосферы над Хоккайдо приписывалось Кавказу.
		Другой пример. Норвегия (одна из стран - членов ВМО) в восьмидесятых годах установила в Арктике полсотни буев, автоматически передававших информацию. Четыре буя оказались с дефектом: они передавали очень низкое давление на уровне моря: 950гПа (все четыре одинаковое). При сравнении с прогнозом контроль эти данные браковал. Все было в порядке. Но когда в этот район пришел сильный циклон (область низкого давления), и «честный» прогноз дал значение давления 975гПа, то данные этих буев попали в ``окно'' допустимых отклонений от прогноза. Кроме того, они оказались идеально согласованными между собой (так как были одинаковыми) и потому прошли горизонтальный и временной контроль. Исходные данные для прогноза получились такие, как будто действительно заработала ``ноздря Аэртона'' из известного романа А.Беляева ``Продавец воздуха''. Прежде чем была выявлена причина и установлен специальный алгоритм ``защиты от данных'' этих буев, было дано несколько прогнозов весьма низкого (особенно для Арктики) качества.

2. Статистика или геометрия: коэффициент корреляции - это косинус!

«Вдруг серый волк ударился о сырую землю и стал конем златогривым»
Русская народная сказка «Иван-царевич и серый волк»

Предположим, имеется два набора чисел одинаковой длины:  и , и мы хотим понять, можно ли по одному ряду «предсказать» другой? Например, по высоте столбика термометра за нашим окном мы предсказываем температуру а) около термометра, б) в том месте, куда мы планируем отправиться. Понятно, что в первом случае зависимость линейная (для этого-то термометр и совершенствовали несколько веков): , где j – номер момента времени, а константы  и  характеризуют данный термометр и температурную шкалу. В случае б) результат зависит от подробностей. Если собираетесь в булочную, что за углом, - ситуация почти такая же, что и в случае а). А если на другой континент – нечего тогда и в окно смотреть.
	Важная характеристика числового ряда – его средняя величина:  Но если у нас рядом висят два термометра, один со шкалой Цельсия, а другой Реомюра или Фаренгейта, то показания у них разные, и среднее значение этих показаний у каждого термометра свое. Как же убедиться, что они показывают одну и ту же температуру?
Во-первых, вычтем средние величины, т. е. перейдем к центрированным числовым рядам:    У этих числовых рядов среднее значение нулевое.
Предположим, что первый центрированный ряд состоит из чисел 1 и -1 в равном количестве, а второй получается из первого умножением на число  Тогда стоит считать, что это один и тот же набор измерений, только описанный в разных шкалах (масштабах). А как это проверить, если пропорциональность этих рядов неидеальная и масштабный коэффициент  нам заранее неизвестен?
Пусть сначала N=3, т. е. произведено лишь по три измерения. Тогда каждый из двух наборов содержит по 3 числа, и каждый набор можно интерпретировать как вектор в трехмерном пространстве  Как узнать, являются ли эти вектора пропорциональными, а если нет, то насколько велика «мера этой непропорциональности»?
Отличной мерой такой непропорциональности является угол между этими векторами. Или косинус угла: когда он равен 1, то векторы пропорциональны, а когда 0 – ортогональны. Если же он равен -1, значит, векторы пропорциональны, но со знаком минус – когда на одном термометре температура выше средней, на другом – ниже и наоборот. Так что таким «термометрам наоборот» верить не стоит.
А как вычислить косинус угла между векторами в ? Для этого существует замечательный способ: нужно вычислить скалярное произведение векторов и поделить на произведение их норм: 
.			(1)

Если векторы  и  пропорциональны, и коэффициент пропорциональности положителен, то (проверьте!)  а если коэффициент отрицателен, то 
Эту формулу для косинуса легко обобщить с N=3 на случай произвольного N – нужно лишь поменять верхний предел у всех сумм. 
Неравенство Коши – Буняковского для числовых рядов (попробуйте его доказать!) гласит:  А это означает, что модуль величины, которую мы назвали косинусом, не превосходит 1. По этой величине можно восстановить и угол между двумя векторами, который можно вычислять хоть в градусах, хоть в радианах – самый обычный угол, хотя вектора и N-мерные.
Число  имеет еще одно название: коэффициент корреляции между числовыми рядами  и . Этот термин используют, когда говорят о случайных величинах, вероятностях и т. п. Он характеризует «похожесть» колебаний этих двух числовых рядов.

	Рис. 3(15). Углы между этими четырьмя ненулевыми векторами на плоскости не зависят от их длины. Здесь  . Соответственно и коэффициенты корреляции (косинусы углов) 

Будем считать, что в каждой точке поля  отклонение поля  от климата есть случайная величина, принимающая числовые значения. Пример случайной величины дает обыкновенный кубик с числами от единицы до шести на гранях. Каждая грань, если кубик не испорчен, выпадает с одинаковой вероятностью, равной 1/6. Если кубик подбросить много раз, то среднее значение случайной величины (выпавшего числа) будет близко к 3,5. В теории вероятностей такое среднее «всех» значений называют математическим ожиданием и обозначают символом М. Если же нужно подчеркнуть, что оценка выполнена по конечному ряду, то используют символ S.
Предположим, что  - число на грани кубика при j-м подбрасывании, а  при всех j. У этих величин одинаковое среднее, а коэффициент корреляции равен (проверьте!) нулю.

3. Статистические связи и предсказания

«Иван Николаевич смутился, но ненадолго, потому что вдруг сообразил, что профессор непременно должен оказаться в доме №13 и обязательно в квартире 47».
М.А.Булгаков. «Мастер и Маргарита»

Если ряды  и  составлены, скажем, из значений давления и температуры в какой-то точке , в моменты , то коэффициент корреляции r характеризует статистическую связь между ними. Например, если r>0, то чем выше давление, тем, как правило, выше температура. Чем ближе был бы r к 1, тем реже нарушалось бы это статистическое правило. В реальности коэффициент корреляции между температурой и давлением в одной и той же точке и в один и тот же момент времени близок к нулю. Снова зададимся вопросом: насколько длинным должен быть ряд (каким следует выбирать N)? Ответ на этот простой вопрос весьма сложен, а неправильный ответ может привести к принципиальным ошибкам.
	Допустим, измеряется температура и давление ежесекундно в течение минуты, т. е. N=60. Вполне возможно, что обе величины, например, растут или одна из них убывает. Поскольку минута – сравнительно небольшой (в метеорологическом смысле) отрезок времени, обе функции – давление и температура хорошо описываются линейными функциями времени. Тогда коэффициент корреляции этих рядов будет близок (проверьте!) к 1 (или к -1, если одна величина растет, а другая убывает). Если сделать опрометчивый вывод, что такая связь будет продолжаться и далее, на больших временных интервалах, то результат получится совершенно неверный. 
Известно, что днем бывает, как правило, теплей, чем ночью. А зимой – холоднее, чем летом. А колебаний давления с большой амплитудой, аналогичных колебаниям температуры, ни с суточным, ни с годовым периодом в природе не существует. Нельзя было по ряду на таком коротком отрезке делать выводы о столь сильной корреляции температуры и давления.

	Рис.4. Климатические Средне-январские поля температуры в  на уровне 500гПа а) средние; б) дисперсии, - они, как мы видим, имеют выраженный зональный характер: зависимость от долготы существенно меньше, чем от широты. Разумеется, дисперсия, отвечающая какому-то определенному месяцу, меньше, чем для года в целом. Разбиение на месяцы перед осреднением не полностью отвечает существу дела, - например, приход муссона и соответствующая перестройка циркуляции происходят в разные года в разные даты. Для статистики, связанной с определенными типами глобальной циркуляции, следует ожидать меньших значений дисперсии. Приведенные здесь поля получены по архиву аэрологических наблюдений почти за сорок лет	

Оставив вопрос о методах определения достаточности длины ряда без ответа, предположим, что наши ряды достаточны, что они хорошо представляют бесконечные последовательности  и . Будем предполагать, что существуют пределы при  сумм , , , , . Также предположим, что при нашем выборе числа N суммы S «недалеко» от этих пределов. Две последние суммы (точнее их пределы при ) называются дисперсиями величин р и q, соответственно. Корни из дисперсий называют среднеквадратичными отклонениями и обозначают  или . Они характеризуют вариабельность соответствующих рядов вокруг среднего значения.
Предположив, что сумма близка к пределу, ищем наилучшую оценку  при известном  в классе линейных оценок, т. е. оценок вида  Наилучшей будем полагать такую оценку, которая обеспечила бы минимальность невязки  на уже известных данных  Преобразуем: 

Минимизируя невязку  по b, получаем b=0. Функция  - парабола, и минимума достигает при  Результат «обучения»: наилучшая линейная оценка величины р по q дает формула  Равенство приблизительное, ибо r,  и  оценены при конечном N.
Предположим теперь, что имеется три центрированных ряда чисел ,  и  и что известны все взаимные коэффициенты корреляции и все дисперсии. Цель: найти наилучшую линейную оценку вида u=ap+bq, a, b=const.
Будем теперь минимизировать величину   Минимизация по с, как и в предыдущей задаче, дает с=0. При любом заданном b функция  - парабола по переменной a, и наоборот, при заданном a – парабола по b.
	Координаты точки минимума, если он у функции  существует (а это следует из теорем дифференциального исчисления), должны удовлетворять системе двух линейных алгебраических уравнений с неизвестными a  и b:

	         (2)
Система имеет симметричную матрицу с определителем  Она невырождена (проверьте!), если и только если |r|<1. Если же  то ряды  и   фактически пропорциональны, и мы, используя их в качестве независимых предикторов, допустили ошибку.
Система (2) допускает геометрическую трактовку. Рассмотрим в пространстве бесконечных последовательностей два вектора с координатами  и . Их линейные комбинации (с коэффициентами a и b) составляют двумерное пространство L. Нужно найти вектор в L, ближайший к третьему вектору с координатами . Решение состоит в проекции  на L – минимум расстояния  реализуется на перпендикуляре к L. Доказательство ничем не отличается от своего трехмерного геометрического аналога. 
Потребуем, чтобы разность вектора  и его проекции  была ортогональна (перепендикулярна) векторам  и , см. рис.5. Поскольку любой вектор из L представим в виде линейной комбинации  и , то тогда указанная разность будет ортогональна и всему L. Имеем два уравнения относительно коэффициентов a и b:  которые совпадают (проверьте!) с уравнениями (2).
Коэффициент  (напомним, что  это косинус угла между  и , а  и  - длины этих векторов) учитывает возможную неортогональность векторов  Если они оказываются ортогональными, то =0, а если пропорциональны, то , и система (2) вырождена.
Разумеется, можно статистически предсказывать поведение вектора  не только по двум, но и по большему числу векторов. Этот метод называется регрессией. Повторим сказанное в начале параграфа: важно использовать обучающую выборку – ряды от 1 до N, которая настолько длинна, что адекватно характеризует поведение рядов и при j>N. 
Как правило, чем большее число предикторов используется, тем большую длину рядов N для «обучения» нужно использовать.
	Рис.5(16). Минимальное расстояние от вектора  до двумерного подпространства L, составленного из линейных комбинаций векторов  и , достигается на ортогональной проекции . При определении коэффициентов проекции  учитываются и длины векторов ( и ), и косинус угла между ними . Также нужно учесть и свойства вектора : его длину и углы, которые он составляет с  и . Другими словами, нужно решить систему (2)	

Если две величины (два ряда чисел) заметно коррелируют, это не обязательно значит, что одна величина является следствием другой (такую ошибку часто делают). Скорее всего, существует какая-то общая причина у обеих величин.
4. Интерполяция, климат, корреляции

Иногда приходится полагаться на случай; 
ни в чем нельзя быть вполне уверенным в морском сражении.
Г. Нельсон

Вооруженные понятиями среднего, дисперсии и корреляции вернемся к земной атмосфере. Уже полученные в результате измерений большие массивы метеорологической информации, позволяют ли оценивать климат планеты? До определенной степени, да. А еще можно оценить, как убывает с расстоянием между двумя точками связь (корреляция) между значениями температуры в этих точках. Кроме того знание статистических характеристик позволяет подстроить численные алгоритмы, оптимальные для поля именно с такими характеристиками и минимизировать среднюю ошибку алгоритмов. Объясним эти идеи подробнее.
	Рассмотрим поле (функцию пространственных переменных; время зафиксировано) отклонений измеренных значений, например температуры, от средних климатических значений. Если нанести эти отклонения в точках станций на географическую карту, то станет видно, что полученное поле отклонений зависит от горизонтальных координат сравнительно плавно: имеются зоны положительных отклонений и зоны отрицательных отклонений с характерными размерами км. Другими словами (которым еще нужно придать точный смысл), если на окружающих точку станциях отклонения от климатических значений в какой-то момент времени положительные, то с большой вероятностью в этой точке и в этот момент (а также и в близкие моменты времени) отклонение от климатического значения также будет положительным. И величину этого отклонения можно оценить. Например, вычислив коэффициент корреляции между этими отклонениями в какой-то паре точек. 
Если эти две точки близки, то и коэффициент корреляции будет близок к единице, а по мере удаления точек друг от друга коэффициент будет убывать и даже может стать отрицательным. Если известны коэффициенты корреляции между отклонениями в двух (или нескольких) точках, то можно оценить отклонение еще в одной точке, использовав процедуру составления и решения системы (2). Поскольку климатическое поле нам известно, то после вычисления отклонения можно будет вычислить и само значение температуры в данной точке.
	Если рассмотреть случайную величину: отклонение в данной точке  метеорологического поля от климата, то ее математическое ожидание будет равно нулю, так как климат это и есть математическое ожидание метеорологического поля. Строго говоря, следуя такому определению климата, нужно положить , провести измерения метеорологического поля от ``начала мира'' до ``конца света'', а затем взять среднее по всему этому ряду, что, конечно же, нереально. Поэтому приходится использовать ряд наблюдений покороче, кстати, это может дать более полезный результат.
	Действительно, для того чтобы оценить вероятность той или иной погоды на завтра или через неделю, хорошо бы иметь информацию, скажем, за последние сто лет –узнать, что за это время бывало часто, что - редко. А если миллион лет назад на месте пустыни было болото или ледник, то вот эти древние факты несущественны. Еще раз подчеркнем: несущественны для задачи прогноза (или для оценок погоды) на день или неделю.
	Если же нас интересует, какая была средняя за каждый век температура воздуха по Европе (росла она или убывала, когда века сменяли друг друга), то столетнего архива для этого уже явно недостаточно. Информацию о таких изменениях, по-видимому, будет полезнее искать не в небесах (запуская радиозонды), а под землей (исследуя останки животных и растений, льды, геологические породы и т. п.). Среднее за сто лет зависит от того, когда эти сто лет начинаются. За миллион лет это средне-вековое значение температуры может сильно измениться. Назовем климатическим полем (или просто климатом) метеорологическое поле, осредненное на некотором временном интервале  Климатическое поле (если  - давление, компоненты ветра и т. п.) есть функция пространственных переменных, зависящая от интервала осреднения . Климатическое поле зависит и от времени начала интервала (климат можно связывать с началом, серединой или концом интервала осреднения). Итак, климат похож на математическое ожидание и может заменять его во многих практических вычислениях, но в строгом смысле им не является.
	Помимо средних значений поля полезно статистически оценивать и более сложные его характеристики, например дисперсию  и корреляционную функцию . Эта КФ характеризует синхронность колебаний  в двух заданных точках . Но ведь в каждой точке  не поставить термометр. Так что при почти всех парах точек  такую функцию не вычислить. 
	Ограничимся меньшим. Предположим, что функция шести переменных  (каждый вектор имеет по три координаты) на самом деле зависит только от трех неотрицательных координат: вертикальных  координат (давления) и расстояния между точками по горизонтали: 

 где  				         (3)

На рис. 6а) приведены изолинии КФ температуры при  ( зависит только от одного давления и от расстояния). На рис 6б) r=0, а давления  различны. На рис. а) нет изолинии К=1, поскольку измерения, которыми мы располагаем, производятся с ошибками. Поэтому функция  разрывна при r=0.  а при r>0 она заметно меньше.
	Глядя на рис.6, мы можем сделать вывод, что наименьшие статистические связи (корреляции) наблюдаются в районе тропопаузы (т. е. в диапазоне 300 – 100 гПа). Тропопауза отделяет тропосферу от стратосферы. Но это не бесконечно тонкая поверхность, а зона. И она меняет свою высоту со временем. И ее положение зависит и от горизонтальных координат. Но анализ рис. 6 показывает, что тропопауза – не выдумка. Ведь корреляция между этими частями атмосферы слабая.
	Движение – преобразование, которое не меняет расстояний. Движения полупространства: либо сдвиг этого полупространства по горизонтали, либо поворот вокруг вертикальной оси. В обоих случаях r в формуле (3) не меняется (проверьте!). Если КФ какого-то случайного поля  инвариантна (т. е. не меняется при сдвигах), то поле  называется однородным, а если при поворотах, то изотропным.

Рис. 6. age34. Построенные двумя способами изолинии корреляционной функции температуры а) на одном и том же барическом уровне p (в гПа), разделенных расстоянием r в тыс. км (горизонтальная ось); б) на разных барических уровнях при нулевом расстоянии по горизонтали. Использована статистика умеренных широт Северного полушария; январи

	Реальные метеорологические поля (если рассматривать их как реализации случайных полей) в точности не являются однородными и изотропными по горизонтали, однако, эта модель часто оказывается вполне пригодной для практического применения.
Изменения полей по вертикальной координате в интересных для метеорологии масштабах существенно иные, чем по горизонтали.
	Отличия от изотропии, если они определены достаточно надежно, могут дать существенную информацию. Например, кросс-корреляционные функции, полученные по рис.rad1129, Часть1, осреднением: . Здесь в качестве функций  используются компоненты  отклонения скорости ветра от среднего потока в два момента времени. Суммирование производится по всем точкам сетки <j,k>, таким что и она, и точка <j+x,k+y> лежат в указанном сеточном квадрате.
	Из рис.7. следует, что корреляция  т. е. за 3,5 минуты коэффициент корреляции для ветра падает практически до нуля. Дело, впрочем, обстоит заметно лучше, если учесть основной поток. Действительно,  для обеих компонент.
	Рис.7. Кросс-корреляционные функции для компонент ветра (u - слева, v - справа) со сдвигом по времени примерно в 3,5 мин. Максимальная корреляция здесь достигается отнюдь не в начале координат. Она, как видно из обоих рисунков, смещена ``по потоку'' основного ветра, причем на расстояние, которое частицы воздуха как раз и проходят за 3,5 мин. Разумеется, на больших пространственно-временных масштабах основной поток ветра доминирует над флуктуациями не так сильно, как на рис.~\ref{f-rad1128}. Впрочем, в тропиках подобные явления (переноса максимума корреляций основным потоком) наблюдаются и на больших масштабах	

	Как уже неоднократно указывалось, в нашем распоряжении имеется информация, поступающая с сети метеорологических станций, которые расположены крайне неравномерно. Для дальнейшего использования этой информации в численном прогнозе, нужно переинтерполировать ее в регулярную сеть так называемых узлов. Здесь неважно, что эта сеть станет регулярной, важно то, что это уже будут совсем другие точки.
	Будем интерполировать не само метеорологическое поле, а его отклонение от вычисленного заранее детерминированного климатического (или прогностического) поля. Статистическая гипотеза, которой мы будем пользоваться, состоит в том, что это нормированное отклонение (т. е. деленное на корень из дисперсии):  есть центрированное, однородное и изотропное в широком смысле случайное поле. Следовательно, нам нужно заранее знать поля  и , а также корреляционную функцию для нормированного случайного поля 
	Важный блок алгоритма прогноза погоды составляет формирование начальных полей на регулярной (часто широтно-долготной) сетке. Но измерения имеются в других точках – там, где расположены станции или над которыми пролетел спутник. Если нас интересуют не климатические задачи, а прогностические, то имеет смысл рассматривать отклонение не от среднего, климатического поля, а от поля прогноза, который был сделан, скажем, сутки назад: , где знаменатель - среднеквадратичное отклонение прогноза  от фактических наблюдений . Для современных прогностических моделей дисперсия этого отклонения в несколько раз меньше, чем дисперсия отклонений от климата .
	Будем рассуждать как и в $3, полагая, что КФ уже известны. Пусть  - точка, в которой нужно определить отклонение  нормированного метеорологического поля от климата, a  - множество точек, ``окружающее'' точку , в которых это отклонение  уже известно, поскольку в этих точках расположены метеорологические станции. Величину  будем оценивать по формуле  подбирая коэффициенты  оптимальным образом: чтобы средний квадрат ошибки  был минимальным. Используя определение КФ и дифференцируя по , получим систему линейных алгебраических уравнений 							
	Можно доказать, что симметричная матрица B неотрицательно определена (с помощью некоторых ухищрений можно обеспечить и положительную определенность), т. е. ее собственные числа вещественны и неотрицательны (положительны). Для решения таких систем существуют очень эффективные компьютерные алгоритмы.
	Если предположить, что случайное поле  однородно и изотропно, то измерений для оценки функции одной переменной  понадобится во много раз меньше, чем для определения функции К, зависящей от двух векторных аргументов.
	Изотропность можно предполагать только по горизонтальным переменным. Понятно, что перемещения на 1 км по вертикали и по горизонтали приводят к существенно различным изменениям метеополей, см. рис.6 (age34).

	Рис.8. at2. Ориентация отрезка показывает направление наибольшей корреляции поля температуры в зависимости от широты и высоты (по долготе осреднение). Горизонтальное расположение отрезка означает, что корреляция вдоль параллели сильнее, вертикальное – вдоль меридиана. Чем длиннее отрезок, тем больше у КФ анизотропия a. Цена указана в верхней части рисунка. Как видно, максимум  лежит в тропической стратосфере. Здесь показана анизотропия январских температур	

Простая статистическая гипотеза об однородности и изотропности по горизонтали использовалась в метеорологии около полувека. Однако накопление архивов метеоизмерений, рост вычислительных возможностей и разработка новых вычислительных алгоритмов привели к пересмотру. Оказалось, что и по горизонтальным переменным анизотропия существенно проявляется в тропической зоне, см. рис.8.
	Алгоритм статистической интерполяции, учитывающий анизотропию интерполируемого поля, несколько сложнее изотропной версии.

Заключение
	«Пошли хлеб свой по водам, ибо спустя много дней ты найдешь его».
				Коэлэт (Экклезиаст) 11.1

	Большие объемы метеорологической информации требуют адекватных вычислительных алгоритмов усвоения. Качество продукции определяется качеством собственно алгоритмов и точностью, ассортиментом и объемом измерений, а также мощностью компьютеров. В результате улучшается и численный прогноз погоды, и наше представление о климате планеты. В свою очередь, знание полей средних и корреляционных функций метеорологических полей позволяет отлаживать численные климатические модели, довольно популярные в последние десятилетия. Пока корреляционные функции, генерируемые этими моделями, не окажутся близки к истинным корреляционным функциям, оцененным по архивам наблюдений, верить таким моделям не стоит.
	В этой статье не было возможности объяснить, как именно используются данные ежедневных наблюдений для производства прогноза погоды: какие эволюционные дифференциальные уравнения гидродинамического типа решаются, какие физические процессы они описывают, какие вычислительные алгоритмы для этого используются. Для этого нужна отдельная книга и хорошая математическая подготовка читателя.
	Первый численный прогноз погоды произвел шотландец Л.Ричардсон около века назад. Начал до Первой мировой войны, а в дни мира, закончил. Штат вычислителей был вооружен логарифмическими линейками. Вычислительная работа по прогнозу погоды на 6 часов для Европы продолжалась несколько лет и привела к чудовищно ошибочному прогнозу. Еще четверть века потребовала «работа над ошибками Ричардсона», в которой принимали участие и математики (Р.Курант, К.Фридрихс, Г.Леви), и ``математики с метеорологическим уклоном’’ (Г.Россби в США и И.А.Кибель в СССР).
	Когда в Лос Аламосе после изготовления А-бомбы появилось немного свободного времени у ученых и у их компьютеров, они занялись задачей прогноза погоды. Последние шестьдесят лет качество прогнозов неуклонно росло. Человечество начало пользоваться плодами своих многовековых вложений в метеорологию. Но это уже другая история…

Литература

Алдухов О.А., Гордин В.А. Трехмерные  корреляционные функции основных аэрологических величин. Изв. РАН., сер. ``Физика атмосферы и океана'', 2001, 37(1), с.3-23.
Алдухов О.А., Гордин В.А. Оценки анизотропии корреляционной структуры полей метеорологических величин по наблюдениям глобальной аэрологической сети. Изв. РАН., сер.``Физика атмосферы и океана'', 2005, 41(3), с.399-409.
Бедрицкий А.И., Борисенков Е.П., Коровченко А.С. Пасецкий В.М. «Очерки по истории Гидрометеорологической службы в России», т.1, 1997, С-пб, Гидрометеоиздат.
Гордин В.А. ``Кулоновский'' алгоритм выбора влияющих станций. Метеорология и гидрология, 2003, №12, С.100-105.
Гордин В.А. Как это посчитать? Обработка метеорологической информации на компьютере. М., МЦНМО, 2005.
Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М., Физматлит, 2010.
Хргиан А.Х. «Очерки развития метеорологии», 1959, Л., Гидрометеоиздат.
Надписи на рисунках – перевод

К Рис.7 
Расстояние Х - км и У – км

К Рис.6.

А) Расстояние в тысячах км. Давление в гПа.
Б) Давление в гПа. Давление в гПа.